Dürfen Lehrer privat Unterricht geben an Kinder die in der gleiche Schule sind?

Ja, ohne weiteres, wenn sie kein Geld dafür nehmen.

Wenn sie gegen Bezahlung Nachhilfe geben, benötigen sie dafür erst die Erlaubnis des Arbeitgebers (Schulbehörde).

Generell schon, aber nicht an seine eigenen Schüler. Sonst hätten diese einen Vorteil bzw. die anderen einen Nachteil.