Den Berührpunkt zweier Funktionen berechnen?
Liebe Leser,
ich bin gerade dabei, eine Aufgabe für die Mathe-Klausur zu berechnen und hänge an Aufgabenteil b). Die Aufgabenstellung lautet:
Gegeben ist die Funktion mit f(x)= -2/X ; X Element reelle Zahlen, exklusive 0.
Eine zur y-Achse symmetrische, nach oben geöffnete Normalparabel soll den Graphen von f berühren. Bestimmen Sie den Berührpunkt B und die Gleichung der Parabel.
Wie gehe ich da vor?
Vielen herzlichen Dank im Voraus.
3 Antworten
Wie ist eine Normalparabel definiert? Eine Quadratische Parabel f(x)=x^2?
Aber ein Berührungspunkt ist da wo f1(x)=f2(x) und f´1(x)=f´2(x), heißt du setzt beide Funktionen am besten gleich und setzt mögliche Lösungen in die jeweiligen 1. Ableitungen ein. Kommt für einen Wert in beiden Ableitungen der gleiche Wert raus, so hast du den Berührungspunkt ermittelt.
nennen wir die Parabel mal g(x). Die hat die Form (laut Aufgabenstellung)
g(x) = x^2 + a. a ist eine (noch zu bestimmende) Unbekannte.
So, und nun? "Berührt" ist ein Spezialfall von "schneidet". Beim Schneiden würde gelten
f(x) - g(x) = 0. Daraus sucht man sich dann den passenden x-Wert. Damit sich obiges Gebilde aber "berührt", muss dort eine doppelte Nullstelle sein.
Also berechnet man f(x) - g(x) = 0 (das gibt 'ne Funktion von "a") und bestimmt das "a" so, dass es eine doppelte Nullstelle ist. Der Rest ist ausrechnen.
ich denke, das reicht nicht immer - als Beispiel f(x) = x^3 und die x-Achse. f(x) schneidet die x-Achse bei (0, 0) und hat dort auch die Steigung = 0 (wie die x-Achse auch). Aber f(x) schneidet dort trotzdem die x-Achse. In manchen Fällen mag es allerdings ausreichen (hängt wohl von den beteiligten Funktionen ab)
Parabel p y=x² + a
f ' = p '
2/x² = 2x
also
x³=1
x=1
eisetzen in f ergibt
y= -2
also
Berührpunkt B(1;-2)
dann B in p einsetzen
-2 = 1+a
a = -3
p : y = x² - 3
Wäre es nicht einfacher, zu sagen, dass bei einem Berührpunkt noch zu dem Kriterium f(x) - g(x) = 0 eines gewöhnlichen Schnittpunktes einfach die Bedingung f'(x) = g'(x) hinzukommt?