Frage von ColaPina, 32

Definition der KgV und Primzahlen mit Prädikatenlogik?

Hallo, wir haben hier ein Problem mit unserer Matheaufgabe. Es sind zwei verschiedene Aufgaben, wir sollen einmal das KgV und einmal eine Primzahl in Prädikatenlogik definieren aber da gibt es ein paar Denkprobleme. Bei der KgV Sache haben wir bereits den Anfang aber sind uns nicht sicher ob es richtig ist und können die Zeichen hier nicht einfügen. Danke schonmal und bitte rettet uns das Studium LG aus Dortmund

Antwort
von kreisfoermig, 19

P(x,y,z) soll unter Interpretation in |N genau dann gelten, wenn z=kgV(x,y).

Dann überleg dir. In |N gilt:

z=kgV(x,y) gdw.
x|z & y|z &
(für alle w) (w habe diese Eigenschaft ==> z|w)

Kommentar von kreisfoermig ,

Nochmals genauer (ich war am Handy als ich dies schrieb).

Es kommt auf deine Sprache an. Ich gehe von einer Sprache der Signatur {·, …} aus, wobei · für Multiplikation steht.

Definiere
T(x,y) :≣ (∃z) x·z=y
wobei z eine beliebig gewählte Variable
fremd zu {x,y}, d. h. die Wahl häng von x,y ab.
Die Formel lässt sich in ℕ interpretieren als:
(ℕ,·) ⊨ T [n,m] ⟺ ∃k∈ℕ: nk=m
⟺ n|m

Dann

Definiere
K(x,y,z) :≣ T(x,z) ⋀ T(y,z)
⋀ (∀w)[(T(x,w)⋀T(y,w)) —→ T(z,w)]

wobei w eine beliebig gewählte Variable
fremd zu {x,y,z}.
Die Formel lässt sich in ℕ interpretieren als:
(ℕ,·) ⊨ K [a,b,c] ⟺ (ℕ,·) ⊨ T [a,c]
und (ℕ,·) ⊨ T [b,c]
und ∀u∈ℕ:
wenn (ℕ,·) ⊨ T [a,u]
& (ℕ,·) ⊨ T [b,u]
dann
(ℕ,·) ⊨ T [c,u]

⟺ a|c & b|c
und ∀u∈ℕ:
wenn a|u & b|u
dann c|u

⟺ c=Min{u∈ℕ : a|u & b|u}

⟺ c=kgV(a,b).

Darum ist die Formel K(x,y,z) als eine Kodierung von KGV.

Für Primzahl:

P(x) :≣ (∀y)(T(y,x) —→ (y=S0 ⋁ y=x))
⋀ ¬(x=0) ⋀ ¬(x=S0)

Hier gehe ich von der Sprache {·,S,0,...} aus, wobei S als Nachfolger (‘successor’) interpretiert werden soll und 0 als die Null.

Antwort
von gilgamesch4711, 12

 Es muss nur eine ===> Gradfunktion erklärt sein; ich habe vergessen, wie man solche Ringe nennt - damit du ein Minimum definieren kannst. Am Besten gehst du immer über ===> Ordinalzahlen als Indexmenge, die der Matematiker bekanntlich so fürchtet wie Teufel das Weihwasser; hier kennste den?

   " Das ===> Auswahlaxiom ist trivial erfüllt.

   Der ===> wohlordnungssatz KANN einfach nicht stimmen.

   Und beim Zornschen Lemma wird man sehen ... "

   Du hast also eine Menge x ( i ) von Algebra-Elementen; i € O sind Indexe aus einer geeigneten Ordinalzahl O . Jetzt definiere ich ein gemeinsames Vielfaches v all dieser x :

   v = gv ( x ) : (V) x (E) y = y ( x ) | v = x y  ( 1a )

    und das kgv

    kgv  (  x  )  =  min  [  gv ( x )  ]   (  1b  )

   (V)  v  |  kgv  (  x  )  <  =  v

   Diese Gradfunktion ist ja eine Halbordnung; worüber du mal nachdenken müsstest: Ob dieses Minimum eindeutig ist - kgv ist nicht sehr prominent in der Algebra; selbst in Wiki findest du da noch mehr.

   Mir liegt vor: das Algebraskript von Reifen-Scheja bei B . I  Du musst nämlich bedenken, dass eine Promzahl begrifflich etwas anderes ist als eine unzerlegbare Zahl; Primzahlen sind unzerlegbar, aber i.A. nicht umgekehrt. Äquivalent sind beide Begriffe auf Hauptidealringen; hier die korrekte Definition. p ist eine von Null verschiedene Nicht-===> Einheit

  p  |  a  b  ===>  p  |  a  v  p  |  b    (  2a  )

   (E) z = z ( a b ) | a b = p z ===>    (  2b  )

   ===>  (E)  x  |  a  =  p  x  v  b  =  p  x  (  2c  )

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