Brüche berechnen mit Pi?

Hallo guten Morgen zusammen,

und zwar geht es um diese Aufgabe (s. unten): Dabei geht es darum, wie viele Sandkörner sind in einem Reagenzglas (Durchmesser 𝐷 = 1 𝑐𝑚 und Länge 𝑙 = 20 𝑐𝑚)sind? Der Durchmesser des Sandkorns beträgt 𝑑 = 0.1 𝑚𝑚. Und das Volumen des Sandkorns kann angenähert als Kugel betrachtet werden. Bis jetzt habe ich es verstanden, jedoch verstehe ich nicht, warum die Professorin, das so ausgerechnet hat. Weil wenn ich kürzen möchte bzw die 4 weg haben möchte, dann müsste im Nenner doch 1,5 stehen? Oder verstehe ich es falsch und übersehe etwas? Ich wäre für jede Hilfe dankbar!

Answer 1

[MrsJmb]

Wie kommst du denn darauf, dass im Nenner 1,5 stehen müsste?

Die Rechnung ist schon richtig. Du musst erstmal die Klammer auflösen wo (d/2)^3 ist. Ergibt dann:

4*pi/3 * d^3/2^3

Danach ergibt es dann:

4*pi/3 * d^3/8 = 4*pi*d^3/24

Danach 24/4=6, deshalb kürzt sich die 4 weg.

Answer 2

[zalto]

Mir fehlt da eher noch ein Faktor, nämlich der, dass selbst bei dichtester Kugelpackung nur etwa 74% (𝜋√2/6) des resultierenden Volumens von Sandkugeln ausgefüllt sind und 26% leerer Raum bleibt.

Answer 3

[RedPanther]

Es lohnt sich, wenn man die Bruchrechenregeln in der 5. oder 6. Klasse gelernt und nicht wieder vergessen hat:

$\frac{4}{3}*\pi*(\frac{d}{2})^3=\frac{4}{3}*\pi*\frac{d^3}{8}=\frac{4*\pi*d^3}{3*8}=\frac{\pi*d^3}{6}=\frac{\pi}{6}*d^3$

Am Anfang auf Gewalt die 4/3 zu einer Kommazahl zu kürzen, bringt nur Ungenauigkeit herein. Denn 4/3 ist eine periodische Zahl (nicht 1,5 sondern 1,3333333333...), d.h. wann immer du sie als Kommazahl ausdrückst, ist das nur eine Rundung, eine Annäherung an den realen Wert. Aber es ist eben nicht der exakte Wert. Deshalb ist es sinnvoller, die Sache als Bruch auszudrücken, solange du nicht zwangsweise eine Kommazahl brauchst. Aus dem gleichen Grund wird auch das "pi" als solches beibehalten und man macht keine Kommazahl draus, wenn es nicht unbedingt sein muss. Du bekommst ein richtigeres Ergebnis, wenn du dann auch am Ende "pi" in den Taschenrechner eingibst.

Answer 4

[gfntom]

Du vergisst die 2 von (d/2)³ zur dritten Potenz zu nehmen

(d/2)³ = d³/8

Comments

[RedPanther]

Macht sie doch, oder was meinst du wie sie am Ende auf 1/6 kommt?

[gfntom]

@RedPanther

Die Frage war, WARUM man, auf 1/6 kommt und nicht auf 1/1,5.

Antwort: die Fragestellerin hat die 2 in der Klammer nicht potenziert, deswegen kommt sie auf 1/1,5.

Hast du die Frage und meine Antwort jetzt verstanden oder kann ich dir noch irgendwie weiter helfen?