Bruchgleichung: Hauptnenner multiplizieren?
Hallo leute,
warum wird bei der Aufgabe (siehe Bild) nicht der nenner nach dem = mitgenommen sprich:
(3-x)(x+1)(x+2)(x+1) usw.
In dem Buch lassen die x+1 weg also so:
(3-x)(x+1)(x+2)
Kann mir das jemand erklären bitte? Danke im Voraus.
3 Antworten
Hallo bilal007,
Jeder Bruch (Zähler!) wird mit dem vollständigen Hauptnenner (x+1)(x+2) multipliziert, so dass die Nenner weggekürzt werden können. Das sieht durch die Terme ein bisschen umständlich aus, aber wenn Du Dir das an einem einfachen Zahlenbeispiel klarmachst, wird es einfach:
1/3 + 2/5
Hauptnenner ist 3 * 5. Du multiplizierst also Deine Brüche mit 3 und 5
(1 * 3 * 5) / 3 + (2 * 3 * 5) / 5
Jetzt kürzen im ersten Bruch mit 3, im zweiten mit 5:
1 * 5 + 2 * 3
Gruß Friedemann
( - x + 3 ) / ( x + 1 ) + ( 2 x - 7 ) / ( x + 2 ) = ( 1a )
= ( x + 4 ) / ( x + 1 ) ( 1b )
Was hier als Erstes zu geschehen hat, ist nicht " Hauptnenner " ( HN ) sondern POLYNOMDIVISION ( PD ) Sonst missbraucht ihr die ja auch immer für alle möglichen heiligen und unheiligen Zwecke, wo man sie an sich gar nicht benötigt.
Der Sinn der PD besteht bekanntlich darin, einen ganz rationalen Term abzuspalten. Ich weiß nicht, ob ihr das schon überblickt; in dem ersten Term von ( 1a ) kommt eine ( - 1 ) , im zweiten eine 2 . Macht per Saldo Eins; genau das kommt in ( 1b ) aber auch raus. Weil wenn ich das so mache und mich nicht auf den HN einlasse, komme ich nie in Gefahr, Klammern auflösen zu müssen, die mich auf den quadratischen Term x ² führen.
Die Art PD , die wir hier haben, ist doch PD durch Linearfaktor ( PDLF ) Eine anonyme Entdeckung aus dem Internet: PDLF ist äquivalent dem Hornerschema. Wer es immer noch nicht beherrscht; unser Beispiel ist leider viel zu trivial, als dass euch das allgemeine Prinzip der PDLF klar wird. Ich kann jetzt nur auf eure Einsicht bauen; nehmen wir etwa Term 2 von ( 1a ) Du hast das Zählerpolynom
f ( x ) := 2 x - 7 ( 2a )
f ( x ) : ( x + 2 ) = 2 Rest f ( - 2 ) = ( 2b )
= 2 Rest ( - 11 ) ( 2c )
f ( x ) : ( x + 2 ) = 2 - 11 / ( x + 2 ) ( 2d )
Und für die beiden anderen Brüche in ( 1a;b ) machst du das ganz genau so.
[ - 1 + 4 / ( x + 1 ) ] + [ 2 - 11 / ( x + 2 ) ] = ( 3a )
= [ 1 + 3 / ( x + 1 ) ] ( 3b )
Jetzt fasse mal ( 3ab ) zusammen:
1 / ( x + 1 ) = 11 / ( x + 2 ) | * HN ( 4a )
x + 2 = 11 ( x + 1 ) ( 4b )
sortieren
10 x + 9 = 0 ===> x = ( - 9/10 ) ( 4c ) ; vgl. Wolfram
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