Beweis Quadratzahl modulo 11?
Kann mir jemand einen Beweis verlinken in welchem bewiesen wird, dass modulo 11 einer Quadratzahl immer 0, 1, 3, 4, 5, 9 ist?
2 Antworten
Wir müssen nur die Zahlen x von 0 bis 10 untersuchen.
0 -> 0
1-> 1
2-> 4
3->9
4->5
5->3
6->3
7->5
8->9
9->4
10->1
Für alle größeren Zahlen gilt
(x+11)^2= x^2 +22 x +121
Da 22x +121 = 0 mod 11 ist, bleibt der Rest von x^2, für das der Rest bereits geprüft wurde.
Ich schreibe gerade an einem Beweis und eine wichtige Voraussetzung ist, das was in meiner Frage steht. Darf ich in meinem Beweis das einfach so aufschreiben wie du?
Nein, das war mathematisch nicht korrekt, sondern war nur zum Verständnis.
Mit mathematisch regelkonformen Ausdrücken kann ich leider nicht dienen, war nur bis zur 10. Klasse auf Schule.
n mod 11 = r <=> z • 11 + r = n
n² mod 11 = (z • 11 + r)² mod 11 = (z² • 11² + 2 • z • 11 • r + r²) mod 11 = r² mod 11
Mit natürlichen Zahlen n und z.
Da r = 0, 1, ..., 9 oder 10, ist r² = 0, 1, 4, 9, ..., 81 oder 100. Demnach kann r² mod 11 nur
0 mod 11 = 0,
1 mod 11 = 1,
4 mod 11 = 4,
9 mod 11 = 9,
16 mod 11 = 5,
25 mod 11 = 3,
36 mod 11 = 3,
49 mod 11 = 5,
64 mod 11 = 9,
81 mod 11 = 4 oder
100 mod 11 = 1
sein. Insgesamr erhält man also die Möglichkeiten 0, 1, 3, 4, 5 und 9.
Bei (x+11) hast Du den Exponenten vergessen. Es soll doch sicher (x+11)² heißen.