Beweis Gleichung?
Ich soll beweisen, dass für folgende Gleichung keine ganzzahligen Lösungen für x und y existieren:
20x^2 - 19y^2 = 2019
Mein Ansatz war die Substitution sowie das Auflösen nach einer der Variablen. Jedoch stocke ich dann beim Ansatz, daraus einen Beweis herzuleiten.
4 Antworten
Die gleiche Frage wurde schon unter hilfe-bei-einer-knobelaufgabe beantwortet.
Im Prinzip genügt es die Gleichung modulo 4 zu betrachten. Denn dann schrumpft die Gleichung:
20y^2 - 19 x^2 = 2019
auf
0y^2 - 3 x^2 = 3 (mod 4) , d.h. (da -3 = 1 (mod 4))
x^2 = 3 (mod 4)
Quadrate sind aber entweder 0 (mod 4) oder 1 (mod 4). Also gibt es keine ganzen Zahlen, die die Ursprungsgleichung erfüllen.
Danke für die schnelle Erklärung, ich schaue mir das einmal in Ruhe an!
Das riecht nach Widerspruchsbeweis...
Nimm an, dass x und y Element Z existieren, die die Gleichung lösen. Danach forme soweit um, dass du siehst, dass deine Annahme nicht stimmen kann.
Substitution ist glaube ich schon der richtige Ansatz, sowas wie x=a/2 und y=b/2.
Ich würde erst nach b/2 auflösen und schauen ob die andere Seite der Gleichung grundsätzlich ganzzahlig sein kann. Das Gleiche würde dann noch mit a/2 machen.
Aber ich bin da kein Spezialist ^^.
Wenn das eine Schulaufgabe ist gibt es wahrscheinlich eine einfachere Lösung(bzw eine die weniger Vorwissen benötigt) aber ich hab das hier raus.
Zuerst nimmst du an, dass eine ganzzahlige Lösung existiert. Jetzt betrachtest du die Gleichung in Z20. Das bedeutet, du teilst beide Seiten durch 20 und guckst dir den ganzzahligen Rest an (z.B. hat 36/20 den ganzzahligen Rest 16). Wenn die Gleichung eine ganzzahlige Lösung hat, haben beide Seiten den gleichen Rest. Der Vorteil an dieser Betrachtung ist, dass x aus der Gleichung verschwindet, weil 20x^2 ein Vielfaches von 20 ist und damit Rest 0 hat. Die Gleichung vereinfacht sich dann zu y^2=19 mod 20 (-19 und 1 haben den gleichen Rest und können darum ausgetauscht werden). Für diese Gleichung muss man jetzt nur die Werte 0 bis 19 einsetzen und ausprobieren, ob die Gleichung erfüllt ist. Aber keiner dieser Werte erfüllt die Gleichung, also gibt es keine Lösung.
ich merke grade wenn man das gleiche mit mod 19 machst muss man nur 5 werte ausprobieren
Halleluja, das sieht kompliziert aus.. kannst du mir vielleicht einen Link schicken, wo dieses Verfahren genauer erklärt wird? Ich glaube ich komme um eine kleine Einweisung nicht herum..
Das war ein Widerspruchsbeweis. Die ganzen Zwischenschritte und logischen Schlussfolgerungen sind genau die Essenz, die man "entdecken" muss. Eventuell gibt es ähnliche Probleme, die man damit lösen kann. Aber regulär sind immer andere Lösungswege zu erwarten.
Das Beweisen ist richtige Mathematik. Da geht es um "Forschung" und nicht ums Ausrechnen.
Kannst du mal als Anhaltspunkt geben, was du machst (Schule, Studium), damit man mal weiß, in welchen Dimensionen man da eventuell denken muss?
Ich bin zurzeit in der Oberstufe (Q2) und habe bereits mit linearen Gleichungssystemen, allen möglichen Funktionen (samt Integration und Differentiation) und insgesamt analytischer Geometrie gearbeitet
Danke erstmal für die Hilfe.. nur leider fehlt mir hier diese einleuchtende Erkenntnis, dass der eine Term ganzzahlig sein kann oder eben nicht. Ich weiß nicht, wie ich das erkennen soll. Es ist schwer zu beschreiben, vielleicht verstehst du was ich meine.