Beweis das f(x)= sin(x)+0,5x , die Asymptote y=0,5x hat?

Behauptung:

Für den Graphen der Funktion f mit f(x)= sin(x)+0,5x gilt, dass die Gerade y=0,5x Asymptote an den Graphen ist. Nehmen sie dazu Stellung.

Wie soll man das begründen?

Answer 1

[myotis]

Der Teil x/2 wird immer größer, um den sin x immer +/- 1 pendelt ...

Bei x=100, 1000, 1 Mio ist das vernachlässigbar wenig...

Answer 2

[mihisu]

Die Behauptung ist falsch. Wenn y = 0,5x eine Asymptote zu f(x) = sin(x) + 0,5x wäre, so müsste

$\lim\limits_{x\to+\infty}(\overbrace{\sin(x)+0\text{,}5x}^{f(x)} - 0\text{,}5x )=0$

oder

$\lim\limits_{x\to-\infty}(\overbrace{\sin(x)+0\text{,}5x}^{f(x)} - 0\text{,}5x )=0$

sein. Jedoch existieren die Grenzwerte

$\lim\limits_{x\to+\infty}\sin(x)\quad\text{und}\quad \lim\limits_{x\to-\infty}\sin(x)$

noch nicht einmal. [Die Sinus-Funktion pendelt zwischen den Werten +1 und -1 hin und her, anstatt gegen 0 zu konvergieren.]

Comments

[Willy1729]

Das einzige, ws man sagen kann, ist, daß y=0,5x+1 als Tangente alle Maxima von f(x)=sin(x)+0,5x berührt.

Das hat aber mit einer Asymptote wenig zu tun.

Answer 3

[Jangler13]

(sin(x)+0.5x)/0.5x = 2sin(x)/x + 1

Wenn x gegen unendlich geht, geht sin(x)/x gegen 0, da der Sinus beschränkt ist. Somit geht der term oben gegen 1.

Also verlaufen beide Funktionen Asymptotisch gleich. Jedoch ist das keine Asymptote. (Siehe die Antwort von mihisi)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Comments

[mihisu]

Das ist aber nicht die Definition einer Asymptote. Zwar sagt man, zwei Funktionen f, g sind asymptotisch gleich, wenn f(x)/g(x) → 1 für x → ∞ ist. Das bedeutet jedoch nicht unbedingt, dass dann g eine Asymptote von f ist.

Bei zwei reellen Funktionen f: ℝ → ℝ und g: ℝ → ℝ ist g genau dann eine Asymptote zu f, wenn f(x) - g(x) → 0 für x → +∞ oder für x → -∞ ist. [Und das ist im konkreten Beispiel nicht der Fall.]