Bernoulli Experiment - Bitte helft mir?
Ich habe bzgl. folgender Aufgabe eine Frage: Eine verbogene Münze mit der Wahrscheinlichkeit p=0,4 für Zahl wird zehnmal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
a)in den ersten drei Würfen "Zahl" und in den restlichen "Kopf"?
b) höchstens dreimal "Zahl"
c) in den ersten drei Würfen jedes Mal "Zahl", insgesamt aber viermal "Kopf"
d) in den ersten drei Würfen höchstens einmal "Kopf" und unter den letzten 5 Würfen mindestens zweimal "Kopf"?
Es geht mir nicht um die Lösung, ich brauche den Rechenweg. Ich war leider in den letzten Stunden nicht da, alleine dies nachzulernen hat mich nur noch verwirrter gemacht. Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte. Binomialverteilung hatten wir bisher noch nicht, also fällt dies als Lösungsmöglichkeit weg. DANKESCHÖN im Voraus! :)
3 Antworten
p(Zahl)=0,4 -> p(Kopf)=0,6
a: Wenn die ersten drei Zahl sein sollen und die letzten Kopf, dann hast drei mal Zahl und sieben mal Kopf und die Reihenfolge ist vorgegeben, d.h. du musst nur die Einzelwahrscheinlichkeiten multiplizieren: p(Zahl)*p(Zahl)*p(Zahl)*p(Kopf)*....
b: bei "höchstens" kann man entweder die Gegenwahrscheinlichkeit oder die Einzelwahrscheinlichkeiten summiert nehmen. Meistens nimmt man die Einzelwahrscheinlichkeiten, hier auch, also P(keine Zahl)+P(eine Zahl)+...+P(drei Zahl). P(Keine Zahl) ist wie oben, nur dass du zehn mal Kopf hast und keinmal Zahl. Dann ist P(keine Zahl)=p(kopf)^10. P(eine Zahl) funktioniert auch wie oben, nur dass du die Reheinfolge nicht vorgegben hast (Zahl kann ja an 1., 4., 6.,... Stelle sein). Da du zehn mögliche Stellen hast, ist P(eine Zahl)=10*p(Zahl)*p(Kopf)^9. P(zwei Zahlen) und P(drei Zahlen) sind das gleiche Schema, nur dass deine Möglichkeit die Zahl zu verteilen größer ist, hier musst du dann dich fragen "Wie viele Möglichkeiten gibt es zwei bzw. drei Zahlen auf zehn Stellen zu verteilen?" (vorher: "Wie viele Möglichkeiten gibt es eine Zahl auf zehn Stellen zu verteilen?"
c: hier sind die ersten drei wieder vorgegeben, also schon mal p(Zahl)^3, jetzt weißt du aber, dass genau viermal Kopf noch vorkommt. Also darf in den restlichen sieben Würfen noch genau dreimal Zahl sein. Jetzt musst du dich wieder fragen "Wie viele Möglichkeiten gibt es drei Zahlen bzw. vier Kopf auf sieben Stellen anzuordnen?" (Es ist egal, ob du es mit drei Zahl oder vier Kopf machst, es wird immer wieder dasselbe herauskommen; falls du den Binomialkoeffizient schon kennst, das wäre die einfachere Methode bzw. Kurzform). Insgesamt ergibt sich dann für P(Aufgabe c)=p(Zahl)^3 * "Anzahl an Möglichkeiten zu verteilen" *p(Zahl)^3 *p(Kopf)^4
d: Wieder "höchstens", also wieder Einzelergebnisse zusammen addieren, also P(kein Kopf) + P(ein Kopf), allerdings nur unter den ersten drei, d.h. anstatt zehn hast du jetzt drei als Anzahl an Würfen. Über den 4. und 5. Wurf wird nichts ausgesagt, also man diesen "ignorieren". "Mindestens" heißt 1-P(Gegenereignis), das P(kein Kopf)+P(ein Kopf) ist. Also ist P(Gegenereignis)=p(Zahl)^5 (da kein Kopf vorkommt, gibt es ja nur eine Möglichkeit Zahl zu verteilen) + "Möglichkeiten einen Kopf unter 5 Stellen zu verteilen" *p(Kopf)*p(Zahl)^4 . Dann ist P(mindestens zwei Kopf)=1-p(Zahl)^5 + .... . Diese Wahrscheinlichkeit für "mindestens zwei Kopf" und "höchstens ein Kopf" von davor multipliziert ergeben dann dein Ergebnis
Puh, das war jetzt ein langer Text, ich habe versucht es logisch Stück für Stück zu erklären, bei Fragen aber einfach nochmal nachfragen^^
Ok, dann probier ichs nochmal :) :
Wenn es heißt "höchstens dreimal Zahl", dann ist das ja nur wenn keinmal, einmal, zweimal oder dreimal Zahl geworfen wird, alles andere (z.B. fünfmal) wäre "drüber". Also musst die jeweils diese Wahrscheinlichkeiten zusammen addieren. Für keinmal Zahl ist das einfach die Wahrscheinlichkeit von zehnmal Kopf, sprich p(Kopf)^10. Für einmal Zahl ist das dann p(Zahl)*p(Kopf)^9*10 ,mal zehn deshalb, weil die Zahl ja an zehn verschiedenen Stellen stehen kann. Das setzt du für zwei- und dreimal fort, addierst alles, fertig
a) Wahrscheinlichkeiten zweier unabhängiger Ereignisse multipliziert man, um die Wahrscheinlichkeit beider (aufeinanderfolgend, mit bestimmter Reihenfolge) zu erhalten.
Also: Wahrscheinlichkeit [ für "Zahl" in (den ersten) drei Würfen ] * Wahrscheinlichkeit [ für "Kopf in den restlichen ( sieben Mal in Folge) ]
b) "höchtens 3 mal" bedeutet: 3 mal oder 2 mal oder 1 mal oder 0 mal.
Da hier jedes dieser Ereignisse die Bedingung erfüllen würde, musst du deren Wahrscheinlichkeiten addieren.
c) Wie a)
d) wie b), mach dir klar, was mindestens bedeutet.
a,b,c wurden denk Ich mal schön gut beantwortet, Ich geb dir nochmal mein weg Bei der d) einfach Nur um Ein besseres verständnis herzustellen:
In den ersten drei würden Max einmal kopf: also rechnest du: P(Kopf)*P(Zahl)*P(Zahl)*(die Kombinationsmöglichkeiten von 2 Zahl und 1 Kopf, Binomialkoeffizient) + P(Zahl)*P(Zahl)*P(Zahl)
Sprich Du rechnest die Wahrscheinlichkeit für einmal Kopf in drei Würden + die Wahrscheinlichkeit für keinmal Kopf in 3 Würden
Unter den letzten 5 würfen min 2 Kopf:
Hier würde Ich über das gegenereignis gehen: 1-P(max. 1 mal Kopf) = 1- P(Kopf)*P(Zahl)^(4)*Kombinationsmöglichkeiten - P(Zahl)^5
Dann noch die beiden Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren: P(Max 1 Kopf)*P(min 2 Kopf)
meine rechtschreibkorrektur hat aus "würfen" n paar mal "würden" gemacht
Danke für die schnelle Antwort.
Aber inwiefern wende ich dann die Formel ( n aus k * p^k * q^n-k ) an?
haben wir die ganze Zeit schon "unbewusst". z.B. Bei Max einmal Kopf aus 3 würfen: n=3, k=1, p=P(Kopf), q=P(Zahl), n aus k= 3 aus 1 = 3 also folgt: P(Kopf)^(1)*P(Zahl)^(2)*3 das ist das gleich Wie oben :)
Erstmal Danke für die schnelle und ausführlich Antwort!
Ich denke, ich habe größtenteils alles verstanden, nur bei b) komme ich überhaupt nicht mit...