Berechne den Inkreismittelpunkt des Dreicks ABC?

A=(-3|0); B=(6|0); C=(12|8)

Ich würde mich sehr über Lösung und Rechenschritte freuen, danke.

Answer 1

[Dieter576]

Um den Inkreismittelpunkt des Dreiecks ABC zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenlängen des Dreiecks berechnen. Dann können wir den Inkreismittelpunkt mit Hilfe der Formel für den Inkreismittelpunkt berechnen.

Die Seitenlängen des Dreiecks können mit Hilfe des Abstandes zwischen den Punkten berechnet werden:

a = |B - C| = √((6 - 12)² + (0 - 8)²) ≈ 10

b = |A - C| = √((-3 - 12)² + (0 - 8)²) ≈ 17

c = |A - B| = √((-3 - 6)² + (0 - 0)²) ≈ 9

Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der Seitenlängen:

U = a + b + c ≈ 36

Der Inkreismittelpunkt kann nun mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden:

x = (a * Ax + b * Bx + c * Cx) / U

y = (a * Ay + b * By + c * Cy) / U

wobei Ax und Ay die Koordinaten von A sind, Bx und By die Koordinaten von B und Cx und Cy die Koordinaten von C sind.

Einsetzen der Werte ergibt:

x = (10 * (-3) + 17 * 6 + 9 * 12) / 36 ≈ 7

y = (10 * 0 + 17 * 0 + 9 * 8) / 36 ≈ 2.22

Also ist der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ungefähr bei (7|2.22).

Answer 2

[Aurel8317648]

Der inkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der 3 Winkelhalbierenden dieses Dreiecks. Eine Möglichkeit zur Berechnung des inkreismittelpunkts besteht also darin, dass du die Geradengleichungen von zwei Winkelhalbierenden in Parameterform aufstellst und diese beiden Geraden schneidest, der Schnittpunkt ist dann der inkreismittelpunkt.

Z.B berechnet man die Winkelhalbierende vom Punkt A aus folgendermaßen:

AB = (9l0)

AC = (15l8)

Wir stellen nun 2 Vektoren auf, die die gleiche Richtung wie AB und AC haben aber gleich lang sind - z.B die Einheitsvektoren AB° und AC°, diese haben beide die Länge 1; man erhält sie indem man die Vektoren durch ihren Betrag dividiert. Wenn man diese beiden Einheitdvektoren dann addiert, erhält man einen Vektor in Richtung Winkelhalbierender.

AB° = AB/lABl = (1 l 0)

AC° = AC/lACl = (15/17 l 8/17)

Der Vektor w1 in Richtung Winkelhalbierender lautet somit

w1 = (1+15/17 l 8/17) = (32/17 l 8/17)

Eine Geradengleichung der Winkelhalbierenden in Parameterform lautet damit:

X = (-3l0) + r * (32/17 | 8/17)

..........

Nun berechne die Winkelhalbierende w2 von einem anderen Punkt aus z.B vom Punkt B. Dann schneide beide Winkelhalbierende indem du die beiden Geradengleichungen in Parameterform gleichsetzt, der Schnittpunkt, den du dadurch erhältst ist der inkreismittelpunkt

Answer 3

[evtldocha]

Ich fang mal damit an, dass man in kartesischen Koordinaten den Inkreismittelpunkt aus den Koordinaten und den Seitenlängen als gewichtetes Mittel errechnen kann:

x-Koordinate des Inkreismittelpunkts:

$x_M=\frac{a\cdot x_A+b\cdot x_B+c\cdot x_C}{a+b+c}$

y-Koordinate des Inkreismittelpunkts

$y_M=\frac{a\cdot y_A+b\cdot y_B+c\cdot y_C}{a+b+c}$

Die Koordinaten A(x_A |y_A), B(x_B |y_B) und C(x_C |y_c) sind alle gegeben, fehlen also noch die Seitenlängen a,b und c. Diese kann man alle an Hand der Skizze unten leicht mit dem Satz vom Pythagoras berechnen oder im Fall c, direkt ablesen und kommt zu:

$a=10;\ b=17;\ c=9$

Damit errechnen sich die x- und y-Koordinate zu:

$x_M=\frac{-30\ +102\ +\ 108}{36}=\frac{180}{36}=5$ $y_M=\frac{0+0+72}{36}=2$

Der Inkreismittelpunkt ist also bei M(5|2)

Skizze:

Comments

[LoverOfPi]

Hey evtldocha, das ist eine interessante Formel! Woher kommt die? Wie kann man zeigen, dass die gilt??