Aufgabe Ganzrationale Funktionen?
Wie löst man die d und die e?
1 Antwort
d) Eine Möglichkeit ist die Berechnung mithilfe der Strahlensätze:
Das Verhältnis der Gipfelhöhen (HR, HL) ist gleich dem Verhältnis der Entfernungen der Gipfel von der Hütte (SR, SL).
Die Höhen lassen sich durch Einsetzen der passenden x-Koordinaten (-> 1. Ableitung) bestimmen, und aus den x-Koordinaten die Distanz d zwischen den beiden Gipfeln bestimmen. Die Variable a ist hierbei die Entfernung zwischen dem rechten Gipfel und der Hütte. Daraus ergibt sich:
Setzen wir nun diese Gleichung in die obige Gleichung ein und stellen nach a um, so erhalten wir:
Die Luftlinie entspricht dann SL = d + a.
Es ist zu beachten, dass folgende Vereinfachungen hier genutzt werden: Die Höhe des Fahrzeugs und des Fahrers wurden vernachlässigt. Die Augen liegen quasi exakt auf dem höchsten Punkt des Bergs. Die Sichtlinie (die Tangente, die eigentlich eine Sekante ist) schneidet den rechten Gipfel in zwei Punkten, die sehr nah beieinander liegen. In der Realität könnte man natürlich nicht durch den Berggipfel schauen.
Eine andere Möglichkeit ist, eine Tangente am rechten Berggipfel anzusetzen, mit der Nebenbedingung, dass sie den linken Berggipfel schneidet (wodurch sie ihren Tangentenstatus verliert). Der Nullpunkt dieser Geraden ist dann die Entfernung (Luftlinie) zum Ursprung (also zum linken Gipfel).
e) Sekante (gedanklich) einzeichnen und mithilfe von Pythagoras die Länge der Hypotenuse des so entstandenen Dreiecks berechnen.
Dann die Geschwindigkeitsformel (v = s/t) nach t umstellen und die Werte einsetzen. Achte hier besonders auf die richtigen Einheiten.
Als Grafikrechner bietet sich Geogebra an. Die Syntax ist nicht besonders schwierig. Links gibst du deine Funktion in der Form "f(x) = -0,0042x^4 + ..." ein. Im Eingabefeld darunter gibst du das Wort "Länge" ein, klickst auf die vorgeschlagene Funktion und dann auf "Länge(Funktion, Startwert, Endwert)" und gibst dann den Namen der Funktion ("f(x)") und Werte ein (alles ohne Anführungszeichen).
Und wo lege ich diese tangente an?
Am rechten oder am linken Berggipfel. Wo diese liegen (x-Koordinaten) lässt sich mithilfe der ersten Ableitung berechnen.
Und was setzt man für Zahlen bei den Strahlensätzen ein?
Das steht doch da oben. Die Höhen der Gipfel und die Entfernungen zwischen Gipfel und Hütte.
Und wenn ich sie dann anlege ist sie doch waagerecht weil am HP die steigung ja 0 ist, wie hilft mir das weiter?
Habe jetzt t= s/v gerechnet. Die Länge in m habe ich in km umgerechnet (0,76km) und durch 20 km/h geteilt und bekomme dann 0,03. Das stimmt doch irgendwie nicht?
Sorry, ja hast recht. Das ganze dann noch Tangente zu nennen ist inkorrekt. Lege eine Geradengleichung mit variabler Steigung an einen der beiden Punkte an. Berechne diese Steigung mithilfe der Nebenbedingung.
Danke. Und wenn ich dann eine gerade am hochpunkt anlege, dann ist sie ja konstant und hat keinen Nullpunkt. Was soll ich machen ?
Das stimmt doch irgendwie nicht?
Stell dir vor du fährst Fahrrad. Wie lange brauchst du etwa für 760 Meter? Knapp 2 Minuten kommt doch schon hin, oder?
0,03 Std. = 0,03*60 Minuten = 1,8 Minuten.
Stimmt...danke.
Und wie lege ich jetzt die gerade an ?Das habe ich nicht ganz verstanden, und wie mir das bringt, den Abstand zu berechnen?
Lege eine Geradengleichung mit variabler Steigung an einen der beiden Punkte an.
Eine Geradengleichung hat die allgemeine Form y=mx+b.
Dabei ist b die Gipfelhöhe. Wenn du den rechten Gipfel wählst, muss die Gerade noch um die Distanz d nach rechts verschoben werden: y=m*(x-d)+b
Nun ist die Steigung m so zu bestimmen, dass die Geradengleichung (nennen wir sie g(x)) die Bedingung g(0)=HL erfüllt (oder g(Px,r)=HR wenn du dich für den rechten Gipfel entscheidest; mit der x-Koordinate des rechten Hochpunkts: Px,r).
...und wie mir das bringt, den Abstand zu berechnen?
Es ist ja nach dem Abstand zwischen dem linken Gipfel und der Hütte gefragt. Der linke Gipfel liegt genau bei x=0, also im Ursprung. Der Punkt, an dem die Gerade die x-Achse schneidet (=Nullpunkt der Gerade) ist dann genau der Abstand zum Ursprung, also zum Gipfel.
Wenn du die Steigung m (siehe oben) korrekt bestimmst, dann wird sie nicht null sein, d.h. es ist keine konstante Funktion und sie wird einen Nullpunkt haben.
Also ich habe jetzt eine gleichung für den linken Hochpunkt. Dabei habe ich dir gipfelhöhe eingetragen und zusätzlich einen weiteren punkt (x=1) mit seinem y Wert eingetragen. Dann habe ich nach m aufgelöst und eine negative steigung bekommen, dann die gleichung gleich Null gesetzt und als nullstelle 10,34 bekommen. Das ist dann die Entfernung. Kommt das hin?
Nun ist die Steigung m so zu bestimmen, dass die Geradengleichung (nennen wir sie g(x)) die Bedingung g(0)=HL erfüllt
Das lässt sich folgendermaßen machen:
Unsere Geradengleichung haben wir bereits aufgestellt:
g(x) = m * (x - d) + HR
Die Nebenbedingung g(0) = HL soll gelten. Das bedeutet, dass der Punkt (0 | HL) (das ist der linke Gipfel) auf der Geraden liegen soll.
Wir setzen also den Punkt in die Geradengleichung ein:
g(0) = HL = m * (0 - d) + HR
=> HL = m*(-d) + HR
Jetzt wird noch nach m aufgelöst:
m = (HL - HR)/(-d)
... und deine Geradengleichung ist fertig.
Jetzt wird die Geradengleichung Null gesetzt, nach x aufgelöst und damit die Position der Hütte bestimmt.
Wo kommt denn der weitere Punkt (x=1) her?
Dieser weitere Punkt muss dann der rechte Hochpunkt sein, denn diesen wollen wir mit der Gerade ja auch durchqueren.
Die 10,34 stimmen nicht. Das würde noch vor dem rechten Gipfel liegen, wie du im Koordinatensystem sehen kannst.
Ich dachte ich brauche den zweiten Punkt um m auszurechnen .. Weil sonst fehlt y und x und ich kann m nicht herausbekommen
Danke. Und bei (x-d) wird das noch quadriert? Weil ich kenne das von der Scheitelpunktform
Ja, du brauchst den zweiten Punkt, um m auszurechnen. Dieser ist der Gipfel des anderen Bergs.
Und bei (x-d) wird das noch quadriert?
Nein. Es handelt sich hier um eine lineare Funktion und nicht um eine quadratische Funktion.
Ich habe eine Frage. Was ist bei der gleichung das d? Also was setze ich ein?
d ist der Abstand der beiden Gipfel zueinander. Im Kontext der Funktionsgleichung ist es damit genau der Wert, um den die Geradegleichung nach rechts verschoben werden muss.
Wenn du die Geradengleichung stattdessen für den linken Gipfel aufgestellt hast, dann fällt dieser Term weg, also d=0.
Also d bekomme ich raus, indem ich die Differenz der beiden Hochpunktr bilde oder? Also der x werte
Ja, formal macht man das so.
In diesem Fall liegt der linke Gipfel/Hochpunkt bei x=0, also ist die x-Koordinate des rechten Hochpunkts/Gipfels genau gleich d.
Ja, das kommt hin. In der Grafik liegt der Gipfel etwa bei 11.
Und wenn ich es jetzt gleich 0 setze, wie lose ich es auf? Da ist ja kein x in der gleichung.
HL -HR / -d. *(-d) +HR
In welcher Gleichung? In m=...?
m gibt die Steigung der Funktionsgleichung g(x) = m*x+b an.
In der Geradengleichung g(x) gibt es das x.
Folgendes ist keine Gleichung:
HL -HR / -d. *(-d) +HR
Wo kommt das her?
Day war deine gleichung ein paar Kommentare weiter oben. Der vordere Teil ist dabei das m, das hab ich eingesetzt.
Achso. Wenn du das m in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, dann kann das x nicht verschwinden.
m = (HL - HR)/(-d)
eingesetzt in
g(x) = m * (x - d) + HR
ergibt
g(x) = (HL - HR)*(x-d)/(-d) + HR
Das ist komplett identisch.
Bei einer Multiplikation ist es egal, wie die Faktoren angeordnet sind.
a * 1/b * c = a*c/b = (a*c)/b = a/b *c
Und wenn ich dann dan x aufgelöst habe, ist das mein Ergebnis oder?
Jein...
Du musst g(x) = 0 setzen und DANN nach x auflösen. Dann erhältst du den Schnittpunkt mit der x-Achse a.k.a. die Lösung der Aufgabe.
OH NEIN!
Ich hab völlig vernachlässigt, dass die Skihütte 200 m über der Talsohle liegt. Sorry :o
Das bedeutet, die Geradengleichung muss nicht mit Null sondern mit 2 (200 m = 2 LE) gleichgesetzt werden.
Dann solltest du das richtig Ergebnis erhalten.
Ich hab jetzt endgültig 24 als Ergebnis raus nachdem ich es gleich 2 gesetzt habe... kann das sein?🤔🤔
Zeichne dir bitte die Funktionen in ein Koordinatensystem, sei es auf Papier oder mit dem oben beschriebenen Grafikprogramm, dann kannst du deine Ergebnisse validieren.
24 hört sich so im großen und ganzen gut an, aber keine Garantie, ich hab es nicht berechnet.
Ja, ich bin nur ein bisschen verwirrt weil wenn man es dann mit 100 multipliziert kommt es auf 24000m.
Sieht sehr gut aus, die gerade geht genau an den Hochpunktrn der Hügel durch. Nur was sagt mit jetzt die 24?
Also 24*100 m sind bei mir 2,4 km = 2400 m. Wenn die zwei Hügel 1,2 km auseinander liegen und einen Höhenunterschied von etwa 150 m haben, dann ist es sehr gut möglich, dass sich nach weiteren 1,2 km nach rechts dann die Hütte weitere 150 m tiefer befindet.
Lineare Funktionen machens möglich! ;)
Die 24 sagt dir, wie viel Längeneinheiten die Hütte vom linken Gipfel entfernt ist (Luftlinie).
Danke, dass du mit mir durch die Höhen und Tiefen dieser Aufgabe gegangen bist!! :)
Gerne :)
Ich hoffe es wurde klar, wie das mit der Geraden funktioniert. Jetzt merke ich, in der Aufgabenstellung steht nur "Ermitteln..." und nicht "Berechnen...", d.h. eine grafische Lösung wäre wahrscheinlich auch in Ordnung gewesen.
Naja, jetzt hast du's mal gemacht. Solche Optimierungsaufgaben mit Nebenbedingungen kommen immer mal wieder dran, vielleicht auch erst im nächsten Schuljahr.
Es sei noch mal drauf hingewiesen, dass das nur eine Näherung ist und wir die ganz oben genannten Vereinfachungen gemacht haben. Die Höhe der Skihütte wurde ebenfalls vernachlässigt. In der Realität wäre die Skihütte ein paar Meter näher.
Ja, momentan machen wir viele dieser Anwendungsaufgaben. Nur war ich bei der d) sehr verwirrt, weil ich nicht verstanden habe was zu machen ist, vor allem wegen den 200m
Und wo lege ich diese tangente an?
Und was setzt man für Zahlen bei den Strahlensätzen ein?