Frage von noizyfan, 64

angeben wo der graph fällt und wo er steigt?

hallo, ich hab hier die wuadratische Funktion y= 3x^2 und soll angeben wo der graph fällt und wo er steigt, wie finde ich das heraus? Danke für jede hilfe :-)

Antwort
von KhalidNbg, 23

Kurze Antwort: Fällt bei x<0 und steigt bei x>0 . Bei x=0 liegt ein sog. Wendepunkt vor.

Lange Antwort: Das findest Du allgemein heraus, indem Du die Funktion einmal ableitest. Wie das genau geht, steht sicher in Deinem Mathe-Buch. Im vorliegenden Fall ist die erste Ableitung:
f'(x) = 3*2x = 6x

Das schöne an der ersten Ableitung ist, dass sie immer direkt sagt, ob die darüberliegende (also originale) Funktion steigt oder fällt und zwar im jeweiligen Punkt. Ist das Ergebnis der Ableitungsfunktion im entspr. Punkt negativ, dann fällt der Graph da, ist er positiv, dann steigt er.

Beispiel:
für den Punkt x=-5 ergibt sich: f'(-5)=6*-5=-30
für den Punkt x=2 ergibt sich: f'(2)=6*2=12
Bei -5 fällt der Graph also, bei 2 steigt er.

Spannend ist jetzt noch die Grenze zu finden, und nicht immer liegt es so offensichtlich auf der Hand wie in diesem Beispiel, dass die Grenze (also der "Drehpunkt") hier im Beispiel bei 0 liegt.
Allgemein findet man diese(n) Punkt(e), in denen der Graph von steigend nach fallend wechselt (oder umgekehrt) heraus, indem man diese erste Ableitung 0 setzt und dann das System auflöst. Das ist im aktuellen Beispiel ganz leicht:
f'(x)=0 <=> 0=6x
Hm, für welches x stimmt die obige Gleichung? RICHTIG, für 0 :-) => Also ist x=0 ein Punkt, in dem sich das Verhalten des Graphen ändert. Wie wir gesehen haben von fallend (kleiner 0) nach steigend (größer 0).
Nur leider ist es nicht immer so einfach, irgendwann wirst Du es mit Funktionen zu tun haben, die etwa so lauten: f(x)=3x^3-2x^2+0,5x-1
Da wirds dann gleich schwerer :-D Aber das ist ja hier nicht die Frage.

Kleiner Tipp noch: Besorg Dir mal ein einfaches Funktionsplot-App oder schau z.B. auf http://www.mathe-fa.de/de
Gib dort einfach mal verschiedene Funktionen und ihre Ableitungen usw ein. Dann siehst Du, wie sich das Verhalten der Graphen abhängig von den Koeffizienten (Zahlen vor den x-en) ändert. Und das hilft sehr beim Verständnis und beim Gefühl für die Infinitesimalrechnung.

Viel Erfolg :-)

Antwort
von MusiToo, 18

1. Ableitung der Funktion bilden:

f'(x) = 6x

2. Nullstelle der Ableitung suchen

0 = 6x
x = 0

3. Prüfen, welche Art des Extremas bei x=0 vorliegt anhand der 2. Ableitung

f''(x)=6
6 > 0, also liegt ein Minumum vor (und kein Sattelpunkt)

Somit wissen wir dann schon einmal, dass sich der Verlauf der Funktion bei x=0 ändert

4. Prüfung, ob die Funktion vor x=0 steigt oder fällt

f' = 6x für alle x<0 ist f'<0
denn
6x < 0    | :6
x < 0

Zusammen mit der Aussage in 3. muss die Funktion also bei x>0 steigen.

Ergebnis: die Funktion 3x^2 fällt für alle x<0 und steigt für alle x>0; bei x=0 liegt ein Minimum vor.

Kommentar von KhalidNbg ,

Ohja stimmt, zweite Ableitung, das hatte ich übergangen. Ist offiziell sicher richtig(er). Wird vor allem dann spannend, wenn man kubische (also hoch drei) oder höhere Funktionen hat. noizyfan: Machs Dir nicht zu leicht :-D Hintergrund: Es kann sein, dass eine Funktion fällt, dann flach wird, und dann weiter fällt. quasi so ne Art Treppe darstellt. Dann ist das was ich oben so lapidar Wendepunkt genannt habe, kein Wendepunkt sondern ein Sattelpunkt, da hat MusiToo recht. Und das findet man nur über die zweite Ableitung raus.
Herrschaftszeiten ist alles alles kompliziert, zum Glück ist der Mathe-LK bei mir schon 20 Jahre her :-D Gruß an Herrn Klüpfel, das ein oder andere weiß ich also noch :-D

Antwort
von Bananajoe2324, 30

Hallo, also ich würde den Graph bzw. die Funktion zeichnen, dann kannst du genau ablesen, wo die Steigung positiv und negativ ist.

Du kannst auch die erste Ableitung machen und beliebige Werte einsetzten und somit ausrechnen, wo die erste Ableitung bzw. die Steigung positiv oder negativ ist.

Ich würde ersteres machen, ist schneller und unkomplizierter.

Antwort
von Bananajoe2324, 18

Hier kann man es schön erkenne (im Bereich -10 bis+10)

Antwort
von mysunrise, 20

Das ist eine um 3 gestauchtet Normalparabel -> Scheitel bei S (0/0)

bis Null fällt der Graph und ab 0 steigt er

Kommentar von noizyfan ,

ist diese angabe (wo der graph seitig und fällt) bei allen normalparabeln gleich?

Kommentar von mysunrise ,

Wenn sie nicht verschoben sind [z.B (x- 5)^2 +3]: ja

-> für x^2; 2x^2 , 3x^2, etc schon

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 9

links und rechts vom Scheitelpunkt gucken;

S(0;0) die Parabel ist nach oben geöffnet (wegen +3)

also links von 0 fallend

rechts von 0 steigend;

---------------------------------------------------------------------------------------

wenn nach unten geöffnet, dann andersrum.

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