Analytische Geometrie: maximal 10 Meter langer Schatten?
Hallo zusammen!
Ich verzweifle leider an dieser Aufgabe:
Der gelbe Sonnenstrahl fällt in Richtung v=(2; 1; -b).
Ziel ist es, b so zu verändern, das der Abstand(Schatten) zwischen Z und H maximal 10 Meter lang ist.
Der Sonnenstrahl ist fixiert an dem Punkt S und V. Der Punkt H hat keine festen Koordinaten. Er zeigt nur den Schnittpunkt zwischen der x1, x2 Ebene und dem Sonnenstrahl. Er verändert sich je nachdem, welcher Wert für -b eingesetzt wird.
Die Koordinaten der Punkte lauten: S(0;0;40) und Z(4;4;0)
Da ja nach einem maximalen Wert gefragt wird denke ich, dass als Lösung eine Extremwertaufgabe verlangt wird.
Vielleicht könnt Ihr mir ja weiterhelfen...
Viele Grüße
2 Antworten
Hallo,
finde zunächst die Lösungen für den Abstand 10. Der Bereich für b liegt dann entweder zwischen oder außerhalb dieser Lösungen.
Du hast den Punkt S (0|0|40), von dem ein Strahl in Richtung (2/1/-b) geht, der auf die xy-Ebene auftrifft. Diesen Spurpunkt nennt man hier H. Der Abstand H zu Z(4|4|0) soll höchstens 10 Einheiten betragen. Es muß also gelten (x-4)²+(y-4)²=100. Die z-Koordinate des gesuchten Punktes muß ja 0 sein, sonst wäre der Punkt H kein Spurpunkt in der xy-Ebene.
H ist gleich (0/0/40)+r*(2/1/-b). Da die z-Koordinate von H gleich 0 sein muß, muß gelten: 40+r*(-b)=0, also r*b=40 und r=40/b.
H ist also (0/0/40)+(40/b)*(2/1/-b)=(80/b|40/b|0).
|H-Z|=(80/b-4)²+(40/b-4)²=100 (100, da 10²=100 und man sich so die lästigen Wurzeln ersparen kann bei der Abstandsberechnung).
Auflösen nach der zweiten binomischen Formel:
6400/b²-640/b+16+1600/b²-320/b+16=100.
Zusammenfassen:
8000/b²-960/b-68=0
Mit b² multiplizieren:
8000-960b-68b²=0, was mit der abc-Formel oder nach Division durch -68 mit der pq-Formel nach b aufgelöst werden kann und zu den beiden Lösungen
b=-20 oder b=100/17 führt.
Da die Gleichung für zum Beispiel b=1, also für einen Wert zwischen den beiden Lösungen zu einem Wert weit über 100 führt, also zu einem größeren Abstand als 10, muß der Lösungsbereich außerhalb liegen.
Es muß also gelten b<=-20 oder b>=100/17.
Setz mal 20 für b ein: (80/20-4)²+(40/20-4)²=4, also kleiner als 100.
Oder -100:
(80/-100-4)²+(40/-100-4)²=42,4, was auch paßt.
Herzliche Grüße,
Willy
Danke!! du hast mir sehr geholfen! Ohne dich wäre ich immernoch komplett ratlos!
Gradengleichung des Sonnenstrahls aufstellen. 0H = ...
Differenzvektor ist der Abstand, wenn ich die Aufgabe richtig verstehe?
Skalarprodukt des RV der Gerade mit diesem Abstandsvektor muss 0 sein und außerdem die Länge dieses Vektors gleich 10
Bin mir aber nicht sicher, wie das mit dem Abstand zu lesen ist, da ein Abstand ja eine minimale Entfernung ist.
Dann evtl. Differenzvektor (mit Variablen) bilden und |HZ| = 10 setzen. Das gibt zwei Lösungen, der gesuchte Bereich liegt zwischen den beiden Schnittpunkten.
Außerhalb der Schnittpunkte. Zwischen ihnen ist der Bereich, in dem der Abstand 10 überschreitet.
Du hast mich schon so oft (zu recht) korrigiert. Ich schau es mir noch mal an
Ich hab mal wieder nicht sorgfältig gelesen. Dass der Punkt auf der Geraden Spurpunkt sein (und bleiben) soll war mir entgangen...
Gib einfach mal f(b)=(80/b-4)²+(40/b-4)² in einen Plotter ein. Dann siehst Du, daß es sich um eine Art Hyperbel handelt, die zwischen -20 und 100/17 die 100 überschreitet und bei b=0 aus beiden Richtungen gegen unendlich geht.
Ja. Das macht die Sache etwas einfacher, weil z=0 auf jeden Fall feststeht.
Ich schäme mich auch... Dass Mathematik schon allein nützlich ist, um sinnentnehmendes Lesen zu fördern, ist immer mein Argument, wenn jemand sagt "im späteren Leben braucht man das alles nicht"...
Ich habe hier aber auch schon oft etwas überlesen. Willkommen im Club.
Dieses 'Wofür braucht man das im Leben?' ist eh eine schwachsinnige Frage. Wenn wir nur das lernen würden, was wir für den späteren Beruf bräuchten, könnte man es machen wie in Huxleys schöne neue Welt, in der ein Mensch von Geburt an dazu bestimmt wird, was er einmal tun soll und ausschließlich darauf vorbereitet. Sind wir Menschen denn nur fürs Arbeiten und Funktionieren geschaffen? Ich habe in meinem ganzen Berufsleben von der Mathematik bestenfalls Prozentrechnung und die Grundrechenarten gebraucht. Aber hätte ich mich darauf beschränken lassen, welche großartige und interessante Welt wäre mir da verschlossen geblieben? Oder Latein? Keine Übersetzung kann die geschliffenen Formulierungen eines Cicero oder gekonnte und witzige Wortspiele vollständig mit allen Zwischentönen wiedergeben. Natürlich gibt es kein Restaurant, in dem ich mir ein Zigeunerschnitzel auf Latein bestellen könnte - aber dafür habe ich diese Sprache doch gar nicht gelernt. Ich bin in die Kultur eines Volkes eingetaucht, das Europa wie kaum ein anderes geprägt hat abgesehen von den Griechen, deren Sprache ich auch lernen durfte. Wir haben einen Geist, der die weitesten Weiten und die tiefsten Tiefen durchdringen kann; der braucht doch Futter.
Mir ist noch ein Satz aus irgendeiner Andacht in Erinnerung, wo es um einen Grabstein ging, auf dem geschrieben stand: Nur Arbeit war sein Leben. Dazu hieß es lapidar: Das wäre ein Grabstein für einen Ackergaul, nicht für einen Menschen.
Viele haben nicht verstanden, daß es im Leben Werte und Reichtümer gibt, die sich nicht in Euro oder Dollar beziffern lassen.
Der Punkt H ist variabel. Du musst die Länge des Vektors HZ bestimmen, indem du die Höhe des Punktes V veränderst (das ist möglich durch -b). Der Sonnenstrahl verläuft durch S und V.
Der Vektor HZ darf nicht länger sein als 10 Meter.