An welcher Stelle ist der Graph am größten Bzw am kleinsten?
An welcher der markierten Stellen ist
f(x) am größten Bzw am kleinsten
f'(x) ''
F''(x) > 0 Bzw < 0
Und warum?
Lg
3 Antworten
Wenn nach der kleinsten oder größten Stelle gefragt ist, handelt es sich immer um Extrema. Sprich Hoch oder Tiefpunkte oder Stellen je nach dem was in der Aufgabenstellung verlangt wird. f'(x) ist nichts anderes als die erste Ableitung. Diese musst du gleich null setzen, um deine vermutlichen Extremstellen zu bekommen. Deswegen gibt es einen notwendige Bedingung für die Berechnung von Extremstellen, die besagt "f'(x)=0". So nun machst du nichts anderes als die Gleichung nach X aufzulösen. Lass dich nicht durch die erste Ableitung irritieren. Stell dir vor, dass es eine ganz normale Gleichung ist, die du löst. Die Gleichung kannst du entweder mit der P/q Formel lösen, die du bereits kennen solltest : -p/2 +/- Wurzel von (p/2)^2 - q . Oder mit der Nullprodukt-Regel. D. h. Mit ausklammern von x wenn jede Zahl deiner Funktion was in der ersten Ableitung häufig der Fall sein kann ein X als Variable wohlgemerkt enthält. Das x mit eventuellem vorfaktor was vor der Klammer steht setzt du gleich null und dann ergibt x logischer weise null. Zudem setzt du die Klammer gleich null also die Zahlen die in der Klammer stehen und löst diese nach X auf. Außerdem gibt es noch die Substitutionsmethode auf welche ich nicht eingehen werde, weil du sie in der Schule nicht mehr aufgrund deines Taschenrechners brauchst und außerdem funktioniert die Substitutionsmethode nicht immer. Alle anderen Funktionen die du nicht ausrechnen kannst löst du im Taschenrechner. Das ist von jedem zu jedem Taschenrechner unterschiedlich also informier dich wie du das zu machen hast. Zurück zur Funktion. Nachdem du die Funktion mithilfe der ersten Ableitung ausgerechnet hast, machst du die zweite Ableitung der Funktion. Also f''(x). Das heißt nichts anderes als die Funktion der ersten Ableitung noch einmal abzuleiten. Dies ist notwendig um herauszufinden ob es sich hierbei wirklich um Wendestellen handelt weil du wie du vielleicht vorher festgestellt hast dir nur die vermutliche Wendestellen herausgefunden haben. D.h. wir wissen noch nicht ob es Wendestellen sind es könnte sich auch um Sattelpunkte handeln. Deswegen heißt die hinreichende Bedingung bei der Berechnung von Extremstellen f'(x)=0 und f''(x) ungleich null. Mit anderen Worten die zweite Ableitung das nicht gleich null ergeben sonst handelt es sich um einen vermeintlichen Sattelpunkt. Warum vermeintlich weil wir nicht wissen ob es tatsächlich ein Sattelpunkt Ist. d.h. wenn die zweite Ableitung gleich null ist müsste man theoretisch noch das mit dem Vorzeichenwechselkriterium überprüfen was ich aber jetzt nicht erklären werde weil es auch ab der elften nicht wirklich gefragt ist. Man benutzt es kaum mehr. Falls du trotzdem über das Vorzeichenwechselkriterium erfahren möchtest schaue ich im Internet um das ist ganz einfach und du wirst es schnell verstehen. so wenn du jetzt die zweite Ableitung der Funktion gemacht hast, setzt du die X-Werte die du bei der Berechnung der Funktion der ersten Ableitung rausbekommen hast ein für X. Wenn Das Ergebnis von der zweiten Ableitung größer Null ist, handelt es sich um einen Tiefpunkt; ist das Ergebnis kleiner dann Hochpunkt. Nachdem du weißt ob du nun hoch oder Tiefpunkte hast, setzt du die X Werte die du bei der Berechnung der Funktion von der ersten Ableitung rausbekommen hast in die Original Funktion ein um die Y Koordinaten deiner stellen der extrem Stellen raus zu kriegen denn du willst ja die extrem Punkte raus haben. Da sich hier nur um ein bestimmtes Intervall einer Funktion handelt muss so gegebenenfalls noch die Ränder überprüfen d.h. den letzten Punkt/Stelle Am ganz äußeren Rand der Funktion. Denn es wird nach der kleinsten und größten Stellen der Funktion gefragt also sprich nach den globalen Extremstellen. Sind die Ränder nicht größer oder nicht kleiner als die kleinste oder größte Stelle so hast du die größte oder kleinste Stelle tatsächlich gefunden. Außerdem wird noch eine Aufgabenstellung nach den Wendestellen gefragt. Wendestellen oder Punkte sind nichts anderes als punkte die zwischen zwei extremer liegen also zwischen einem hoch Und Tiefpunkt Beispielsweise. Deswegen heißt heißt es Wendepunkt, Weil die Funktion zwischen zwei extrema sich wendet. Das Prinzip ist sehr einfach und fast das selbe wie bei der Berechnung der Extremstellen nur das du jetzt die zweite Ableitung gleich null setzt um deine vermutlichen extrem Stellen raus zu finden. Dann musst du wieder nach X auflösen entweder mit Hilfe der PQ Formel oder einfach mit dem Taschenrechner. Und die X-Werte die du rausbekommen hast in die dritte Ableitung einsetzen um zu überprüfen ob es eine tatsächliche Wendestelle ist. Ist die dritte Ableitung größer oder kleiner null handelt es sich um eine Wendestelle ist sie gleich Null dann nicht. Dann haben wir keine. Tut mir leid wegen Rechtschreibung Grammatik Fehler.
f(x) ist dort am größten/kleinsten, wo der Graph am weitesten/wenigsten weg von der x-Achse ist → das siehst du am Bild
f’(x) gibt dir die Steigung an → ist dort am größten/kleinsten, wo der Graph am steilsten ist (wenn er von links nach rechts ansteigt/fällt, ist die Steigung positiv/negativ
Die Steigung ist am größten, wenn sich die Krümmung ändert →
Stell dir vor der Graph ist eine Straße und du fährst mit dem Rad darauf (von links her kommend:
- wenn du dich nach links lehnen musst, ist der Graph links- bzw. positiv gekrümmt
- wenn du dich nach rechts lehnen musst, ist der Graph rechts- bzw. negativ gekrümmt
- wenn sich die Krümmung ändert - von links bzw. positiv auf rechts bzw. negativ, ist die Krümmung 0
f’’(x) gibt dir die Krümmung an jeder Stelle an.
Dort, wo sie 0 ist, ist der Wendepunkt
wann f(x) am Größten bzw. Kleinsten ist erkennst du im Graphen direkt.
Für f´(x): die Ableitung ist da am Kleinsten, wo die größte negative Steigung der Tangenten existiert, also im Wendepunkt zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt und am Größten im Wendepunkt zwischen Tiefpunkt und Hochpunkt.
f´´(x) ist kleiner als 0 bei einer Rechtskrümmung des Graphen, gleich 0 im Wendepunkt und größer als 0 bei einer Linkskrümmung