Abstandsberechnungen?
Hallo,
kann mir jemand bei der unten stehenden Aufgabe helfen? Besonders bei der a) habe ich keine Idee was ich da machen muss. Ich verstehe nicht, ob ich die Höhe der Pyramide oder die Höhe der Querschnittsfläche ausrechnen muss. Außerdem bin ich mir nicht sicher, wie ich die Maße der Pyramide herausbekomme.
Danke schonmal :)
3 Antworten
a) Gemeint ist der Abstand Schnittfläche von der vorderen Würfelecke. Die Höhe der abgeschnittenen Pyramide ist nach meiner Rechnung:
h = √(24√2 - 32) ≈ 1,393
Das lässt sich über die mehrfache Anwendung des Satzes von Pythagoras rechnen, ist aber etwas schwierig zu beschreiben. Eine gute Skizze leistet hier gute Dienste.
b) Das Volumen der abgeschnittenen Pyramide kann man geschickt ermitteln, wenn man erkennt, dass es sich um ein Viertel einer quadratischen Pyramide mit der Seitenlänge der Grundfläche
a = √8 ==> (a² = 2² + 2²)
Und die Höhe h ist dann die Kantenlänge des Würfels a.
V = 1/3 * a² * h = 8/3 * 4 = 32/3
Davon ist das abgeschnittene Stück ein Viertel:
V(Abschnitt) = 8/3
V(Rest) = 64 - 8/3
c) Ich würde einfach mal vermuten, dass es der Fußpunkt der bei a) berechneten Pyramidenhöhe ist. Das zu zeigen habe ich jetzt keine Lust mehr.
Keine Garantie für Richtigkeit! Daher bitte selber nachrechnen.
Vielen Dank für die ausführliche Antwort, es hat mir sehr geholfen! Da unsere Thema im Moment das Lotfußpunktverfahren ist denke ich mal dass ich dieses bei der c) anwenden muss
Zuerst bennen wir die Eckpunkte der Schnittfläche sowie die Spitze mit ihren jeweiligen Koordinaten, wobei ich die Ecke links hinten unten in den Ursprung lege:
P(4|2|4)
Q(4|4|2)
R(0|4|4)
S(4|4|4)
Nun stellen wir zuerst die Gleichung für die Schnittfläche auf:
Die rechne ich zunächst in die Normalengleichung um:
Nun erstelllen wir die Gleichung für die Hilfsgerade g (Lot), die zum einen durch die Spitze der Pyramide S gehen soll, also auch senkrecht auf der Ebene stehen soll. S nehmen wir daher als Stützvektor und den Richtungsvektor senkrecht zur Ebene entnehmen wir der Normalengleichung, womit wir erhalten:
g: x = (4/4/4) + r(4/8/8)
Nun müssen wir den Schnittpunkt dieser Hilfsgeraden mit der Ebene bestimmen, wobei wir die Parameterform der Ebene nehmen:
Dieses Gleichungssystem müssen wir nun lösen, wobei es da verschiedene Methoden gibt. Eine Möglichkeit wäre diese:
Diese ermittelten Parameter setzen wir nun in die Ebenengleichung ein und erhalten so die Koordinaten des Fußpunktes F:
Da wir nun die Koordinaten der Spitze und des Fußpunktes haben, ist die Berechnung des Abstandes reine Formsache. Dazu berechnen wir den Vektor SF:
SF = F - S = (3,556/3,111/3,111) - (4/4/4) = (-0,444/-0,889/-0,889)
und berechnen den Betrag dieses Vektors, der die Höhe der ist:
Vermutlich beträgt der exakte Wert damit 4/3
Da gibt es mehrere Herangehensweisen. Behandelt ihr zur Zeit die analytische Geometrie (Vektoren etc.)?
Ja genau unser Thema ist Abstandsberechnungen mit dem Lotfußpunktverfahren