Zahl hoch i - warum Real- + Imaginärteil?

Warum ergibt sich aus einer reellen Zahl hoch i ein Realteil und ein Imaginärteil?

Warum ist z.B. 2^i ca. 0,77 + 0,64i?

Bin kein Mathestudent, habe gerade das Abi abgeschlossen und ein Informatikstudium in Aussicht. Frage aus Interesse.

Answer 1

[YBCO123]

Eine relle Zahl x kann man schreiben als

$x\ =\ e^{\ln x}$

Damit wird

$x^i\ =\ e^{i\ \ln x}\ =\ \cos\ \left(\ln\ x\right)+\ i\ \sin\left(\ln\ x\right)$

aber ich sehe gerade, dass das andere ohnehin schon geschrieben haben.

Answer 2

[JeyKey55]

2^i = e^(ln(2)*i)

Wenn man eine Zahl in der Form von e^(x*i) hat, dann befindet sie sich auf der komplexen Zahlenebene auf einem Einheitskreis mit einem Radius von 1 um den Punkt 0. Das x kann man als Winkel betrachten. Wenn x = 0 ist, dann ist der Punkt gleich 1. Wenn x = π/2, also 90°, dann ist der Punkt i. für x = π ist der Punkt -1 und für x = 3/2π ist der Punkt -i. Wenn man π/4 hat, also der Winkel 45° ist, dann ist der Punkt 0,707... + 0,707... * i. Jetzt nehmen wir für x ln(2). ln(2) ergibt einen Winkel von etwa 0,693 also etwa 39,7°. Das löst jetzt denke ich nicht das Geheimnis komplett, aber bringt vielleicht etwas mehr Licht ins Dunkle.

Answer 3

[Jangler13]

Sei die Zahl x und zur Einfachheit positiv.

Dann gilt: x^i=e^(ln(x)*i)

Und da e^(i*phi)=cos(phi)+i*sin(phi) gilt bekommst du dann:

cos(ln(x))+i*sin(ln(x))

Wenn du zum Beispiel x=2 nun einsetzt bekommst du nun genau das was du als Ergebnis hast.

Comments

[Willibergi]

Da haben wir wohl strukturell fast genau den gleichen Gedankengang gehabt ;-)

Answer 4

[Willibergi]

Für zwei komplexe Zahlen w, z ist die Potenz als

$z^w = \mathrm e^{w \ln(z)}$

definiert. Damit stimmt sie, falls w und z nicht echt komplex, sondern reell sind, mit der reellen Potenz überein und ist damit eine echte Verallgemeinerung der reellen Potenz.

Also ist für eine eine reelle Zahl a

$a^{\mathrm i} = \mathrm e^{\mathrm i \ln(a)} = \cos(\ln(a)) + \mathrm i \sin(\ln(a))$

und damit genau dann reell, wenn ln(a) eine Nullstelle von sin, d.h.

$\ln(a) \in \pi\mathbb Z$

ist. Ist das nicht der Fall - wie bei a = 2 -, ist a^i echt komplex.