Wurzelfunktion Aufleiten (Mathematik)
Hallo Leute,
morgen schreiben wir eine Mathearbeit und beim durchgucken meiner Unterlagen ist mir aufgefallen, dass ich ein großes Problem bei der Berechnung von Integralen habe, soweit die gegebende Funktion u. a. eine Wurzelfunktion beinhaltet. Steht dort lediglich √α, dann ist das ja umgeschrieben a^1/2 und somit aufgeleitet 2/3a^3/2.
Was mache ich aber, wenn ich beispielsweise Wurzel aus 2x + 4 aufleiten muss? Dass wäre umgeschrieben ja (2x+4)^1/2 und nach dem Beispiel wieder 2/3(2x+4)^3/2, wenn ich das aber ableite, bekomme ich nicht f(x) raus.
Kann mir da jemand helfen? Unsere Lehrerin teile das innere der Klammer nochmal durch 2, allerdings bin ich mir da nichtmehr sicher...
3 Antworten
Das Stichwort lautet Integration durch Substitution. Definiere dir eine Hilfsvariable z mit
z = 2x + 4. Dann gilt:
∫ (2x + 4)^(1/2) dx
= ∫ z^(1/2) dx. Nun musst du noch das dx irgendwie durch ein dz ersetzen. Dabei benutzt du, dass dz / dx die Ableitung von z(x) ist, also die Ableitung von 2x + 4.
=> dz / dx = 2
=> dx = dz / 2.
Daher folgt:
∫ (2x + 4)^(1/2) dx
= ∫ z^(1/2) * 1/2 dz
= 1/2 * ∫ z^(1/2) dz
= 1/2 * 2/3 * z^(3/2)
= 1/3 * z^(3/2)
= 1/3 * (2x + 4)^(3/2).
Ok, das würd bedeuten, dass wenn ich jetzt folgendes dort stehen habe:
Leiten sie "f(x) = 4x^2 + Wurzel aus 7+6x dx" ab, ich folgende Stammfunktion bilden müsste, oder?
F(x) = 1/34x^3 + 2/3((7+6x)/6)^3/2
Da ich als Summe in der Klammer 6 habe, muss ich entweder den Inhalt der Klammer durch 6 teilen, oder den Faktor davor mit 6 Multiplizieren, richtig?
Du schreibst : "Was mache ich aber, wenn ich beispielsweise Wurzel aus 2x + 4 aufleiten muss? Dass wäre umgeschrieben ja (2x+4)^1/2 und nach dem Beispiel wieder 2/3(2x+4)^3/2, wenn ich das aber ableite, bekomme ich nicht f(x) raus."
Nein, sondern das 2-fache wegen der inneren Ableitung. Du brauchst also nur Dein Ergebnis, die 2/3(2x+4)^3/2 mal 1/2 zu nehmen, und es passt. So geht es immer, wenn die innere Ableitung nur eine Zahl ist.
Ok, das würd bedeuten, dass wenn ich jetzt folgendes dort stehen habe:
Leiten sie "f(x) = 4x^2 + Wurzel aus 7+6x dx" ab, ich folgende Stammfunktion bilden müsste, oder?
F(x) = 1/34x^3 + 2/3((7+6x)/6)^3/2
Da ich als Summe in der Klammer 6 habe, muss ich entweder den Inhalt der Klammer durch 6 teilen, oder den Faktor davor mit 6 Multiplizieren, richtig?
Ok, das würd bedeuten, dass wenn ich jetzt folgendes dort stehen habe:
Leiten sie "f(x) = 4x^2 + Wurzel aus 7+6x dx" ab, ich folgende Stammfunktion bilden müsste, oder?
F(x) = 1/34x^3 + 2/3((7+6x)/6)^3/2
Da ich als Summe in der Klammer 6 habe, muss ich entweder den Inhalt der Klammer durch 6 teilen, oder den Faktor davor mit 6 Multiplizieren, richtig?
Korrekt so: Wenn dort steht „Leiten Sie f(x) = 4x² + √7+6x AUF“, dann ist eine Stammfunktion F(x) = (1/3) • 4x³ + (1/6) • (2/3) • (7+6x)^3/2 . Achte auch mal auf die sonstigen kleinen Unterschiede zu Deinem Text. Übrigens: „aufleiten“ gibt es offiziell nicht, das ist Schüler-Deutsch.