Woran kann man ohne Rechnung sehen, dass eine Parabel zwei Schnittpunkte mit der x-Achse hat?
Hey kann mir bitte jemand weiter helfen ich schreibe morgen eine Arbeit und diese Frage ist mir noch offen und zwar wäre der Scheitelpunkt (3/-4) falls das was hilft. Danke im voraus
6 Antworten
Das ist die so genannte Diskriminante (lat.: die Entscheidende).
Bei einer quadratischen Parabel ist dies der Wurzelinhalt bei der p,q-Auflösung.
D = (p/2)² - q
Da können 3 Ergebnisse herauskommen (wie bei jeder Wurzel):
D > 0 2 Lösungen für die quadratische Gleichung, als 2 Nullstellen
D = 0 1 Lösung, nämlich -p/2
D < 0 keine reelle Lösung, sondern nur 2 im komplexen Bereich
Das kann man schon bestimmen, bevor man x₁,₂ auszurechnen beginnt.
Dein Scheitelpunkt hat y = -4
Wenn dann a > 0 ist, gibt es aif alle Fälle zwei Lösungen, denn eine Parabel mit Minus davor würde sich nach unten öffnen.
Anhand des Funktionsterms siehst Du, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist (am Faktor vor dem x² erkennbar). Ist der bekannte Scheitelpunkt nun unterhalb der x-Achse (y-Wert kleiner Null) und ist die Parabel nach oben offen (Faktor vor x² ist positiv), dann muss es 2 Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) geben; entsprechend muss der Scheitelpunkt bei nach unten offener Parabel über der x-Achse liegen, damit es 2 Nullstellen gibt.
Kennst Du nur den Funktionsterm ohne Scheitelpunkt, dann gibt es nur dann sicher 2 Nullstellen, wenn das Absolutglied (der Summand ohne x) ein anderes Vorzeichen hat als der Faktor vor dem x² (auch Streckungsfaktor genannt), z. B.:
f(x)=2x²+7x-1
f(x)=-2x²+7x+1
Diese Funktionen haben 2 Nullstellen.
Sind beide Vorzeichen (von Absolutglied und Streckungsfaktor) gleich, dann ist alles möglich...:
f(x)=x²+2x+1 (1 Nullstelle)
f(x)=x²+x+1 (keine Nullstelle)
f(x)=x²-2,5x+1 (2 Nullstellen)
Scheitelpunktform y=a2*(x-xs)²+ys
y=0=a2*(x-xs)²+ys ergibt Wurzel(-(ys)/a2)=x-xs
also x1,2=Wurzel(-(ys)(a2))+xs zwei "reelle Nullstellen,nur wenn der Ausdruck unter der Wurzel "-(ys)/a2 "positiv ist
also ys=negativ und a2=positiv oder ys=positiv und a2=negativ
1 Nullstelle,wenn -(ys)/a2=0 also ys=0
allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
Scheitelkoordinaten xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)/(4*a2)+ao
Bei der allgemeinen Form muß man erst ermiteln,ab ys "positiv" oder "negativ" ist.
also ys=positiv auf jeden Fall,wenn a1=negativ a2=positiv und ao positiv
oder a1=positiv dann a2=negativ und ao =positiv
usw.
in Scheitelpunktform f(x)= a (x-d)²+e kann man ja den Scheitelpunkt sofort ablesen. -> (d;e)
Wenn a negativ und e positiv oder a positiv und e negativ ist gibt es jeweils 2 x-Achsen Schnittpunkte. e verschiebt nämlich die Parabel entlang der y-Achse, Faktor a entscheidet, ob der Graph nach oben oder unten geöffnet wird.
e=0 -> genau ein Punkt auf der x-Achse,
e und a positiv/negativ -> keine Schnittpunkte mit x-Achse
wenn dein Graph nicht in der Scheitelform ist, dann einfach eine quadreatische Ergänzung durchführen.
Hoffe das hilft
Wenn es sowohl negative als auch positive Funktionswerte gibt, dann liegt ein Teil des Graphen unterhalb und ein Teil oberhalb der x-Achse.
Dann gibt es zwangsläufig 2 Schnittpunkte mit der x-Achse.