Wo ist genau der Zusammenhang zwischen der Sinuskurve, Pi und einem Kreis?
Nach 13 Jahren Schule gibt es vieles was ich verstanden habe und einiges was ich teilweise nicht verstanden habe. Aber was ich überhaupt nicht verstanden habe und wofür ich mich jetzt langsam anfange zu interessieren sind physikalisch-mathematische Phänomene.
Wie man das alles berechnet wurde uns immer gesagt. Also den mathematischen Teil verstehe ich, aber wo besteht jetzt genau der physikalische Zusammenhang zwischen einem Kreis, Pi und der Sinuskurve? Ich würde mir das selbst gerne vorstellen können.
Und wer kam auf die Idee das alles zusammenzubringen und so zu erklären?
Kann mir das jemand erklären? Und bitte in nicht der obersten physikalischen Fachsprache haha. Das wäre sehr nett! :)
5 Antworten
Der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1("Einheitskreis") beträgt 2*pi.
Von daher kannst du den Winkel auch angeben als die Länge des Kreisbogens (=Bogenlänge) am Einhietskreis, die "zurückgelegt" wird, wenn man einen bestimmten Winkel überstreicht. So entspricht 360° also 2*pi, 180° entspricht pi, 36° 2*pi/10, usw...
Wenn du den Einheitskreis mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung zeichnest dann verläuft nach links die x-Achse und nach rechts die y-Achse.
Nimm einen beliegen Punkt auf dem Kreis: der Abstand zur x-Achse ist der Sinuns jenes Winkels, den der Radius zu diesem Punkt mit der x-Achse einschließt.
Wenn du nun die Sinusfunktion in einem (anderen) Koordinatensystem einzeichnest, so trägst du auf der y-Achse den Sinus auf (wird wie oben ermittelt beschrieben) und auf der x-Achse die dazugehörige Bogenlänge.
Wenn du hier
https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition
ein wenig nach oben scrollst, siehst du auch eine anschauliche Animation des Zusammenhangs.
Die Zahl π ist ja nichts weiter, als der berechnete Faktor, mit welchem man den Durchmesser multipliziert, um den Umfang zu erhalten. π ist die einzige Konstante im Kreis, auch wenn man die Fläche berechnet. Alles andere sind Variablen.
Der Zusammenhang von Kreis und Sinus ist auch recht einfach: Man nimmt einen Kreis und teilt den Umfang in Grade ein. Der Mittelpunkt des Kreises ist die Nulllinie bzw. Zeitachse.
Dann überträgt man diese Grade beginnend mit 0° auf die Zeitachse und findet den jeweiligen Schnittpunkt dort, wo sich im Kreis die zugehörige Amplitude befindet.
Die Sinuswelle ist also eigentlich nur der abgerollte Kreis, dessen Umfang auf der Zeitachse wiederzufinden ist.
Ich habe jetzt nur ein Beispiel für unsere Haushaltsspannung von 230 V. Aber das Prinzip ist immer gleich. Vielleicht hilft Dir das Diagramm ja weiter:
Betrachte den Einheitskreis (Kreis mit dem Radius 1 um den Nullpunkt in einem kartesischen x-y-Koordinatensystem). Zeichne nun einen Winkel, beginnend in (0/0), in den Kreis ein . Der betrachtete Winkel ist dann der zwischen der Abszisse (x-Achse) und der eingezeichneten Geraden => du erhältst quasi ein Kreissegment.
In der Mathematik ist der natürliche Drehsinn immer gegen den Uhrzeigersinn. Jetzt betrachtest du den Schnittpunkt der eingezeichneten Geraden und der Kreislinie. Diesen Punkt nennen wir (x/y) und wird natürlich von dem Winkel alpha abhängen, also (x(alpha)/y(alpha)).
Wie erhältst du x und y? x ist einfach cos(alpha) und y ist sin(alpha). Der cos ist für 0 ja 1 und der sin ist 0 => Winkel = 0, Gerade liegt entlang der Abszisse => Schnittpunkt (1/0).
Winkel 90 Grad = Pi/4 => sin(Pi/4)=1, cos(Pi/4)=0 => Gerade liegt entlang der Ordinate => (0/1) usw.
Der Umfang im Kreis beträgt U=2*Pi*r, der Durchmesser D=2*r => Verhältnis aus Umfang zu Durchmesser = 2*Pi*r/(2*r) = Pi. Pi ist also nur das Verhältnis aus dem Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser.
Wenn du wirklich tief vordringen willst solltest du dir ansehen wie die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen zusammenhängen. exp(ix) = cos(x) + i*sin(x) (Euler'sche Identität).
Die Exponentialfunktion erhältst du als Umkehrfunktion des Logarithmus. Hier stellt der natürliche Logarithmus (mit der e-Funktion als Umkehrung) eine kleine Besonderheit dar.
Die Wellen in der Sinus Funktion sind ja irgendwie ein Teil vom Kreis. Und der Kreis und die Sinusfunktion sind unendlich lang. (Kreis Rundung) und werden und können daher nur druch eine unendliche "Zahl" beschrieben werden.
schau die wikipedia hier an --- scrolle zu "Definition am Einheitskreis":
die Winelmessung startet im 1.Quadranten des Koordinatensystems, das ist positive x und positive y Koordinate ... die Drehrichtung ist entgegen dem Uhrzeigersinn .. also als nächster Quadrant folgt negative x, positive y Werte.
Der Winkel ist analog zu pi entspricht 180° je pi. Der Sinus ist die x-Koordinate, der Cosinus die y-Kooardinate. Pi ergibt sich als Faktor zum Durchmesser des Kreises um auf den Umfang zu kommen. Durchmesser 1 daraus folgt Umfang Pi.