Wieso sind die freien Elektronen am Sauerstoff das HOMO in einer Carbonylgruppe?

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Wenn Du H₂O mit Hybridorbitalen beschreiben willst, dann gehst Du qualitativ so vor:

Zuerst machst Du die sp³-Hybridorbitale am O. Die sehen alle vier gleich aus und zeigen zu den Eckpunkten eines Tetraeders. Dann kommen zwei H dazu. Die zwei sp³-Lappen, die zu den Hs zeigen, bilden zusammen mit deren 1s ein bindendes Orbital (und ein antibindendes, das ist aber leer und interessiert uns nicht), und diese bin­den­den Orbitale liegen natürlich energetisch niedriger als die ursprünglichen sp³-Hybride. Die verbleibenden beiden Lappen haben keine Partner und bleiben das, was sie immer schon waren, nämlich nichtbindend.

Es gibt dann also 2 σ-Bindungen (zwischen sp³ am O und 1s am H) und zwei nicht­bindende sp³-Hybride am O.

In einer MO-Beschreibung ist das leicht anders (und besser). Da bekommst Du eine Mischung des Typs 2s+2pz+1s₁+1s₂ als tiefstes Orbital und 2px+1s₁−1s₂ als zweit­tief­stes; beide sind bindend. Die nichtbindenden haben dann die Form 2s−2pz (mit kleinen 1s-Beiträgen) und 2py. Dabei habe ich angenommen, daß das O im Koordina­ten­ursprung liegt und die beiden H-Atome in der xz-Ebene, H₁ bei positivem x und z, das H₂ bei negativem x und positivem z. Das 2pz zeit natürlich mit dem positive Lap­pen in die z⁺-Richtung.

https://chem.libretexts.org/Bookshelves/General_Chemistry/General_Chemistry_Supplement_%28Eames%29/Molecular_Orbital_Theory/MO_Diagrams_for_Water_and_Nitrate_Ion

Die MO-Beschreibung hat also symmetrieadaptierte Orbitale, und das ist ein Vorteil, wenn man z.B. Spektroskopie betreiben will. Man kann z.B. mit UV-Strahlen aus jedem dieser Orbitale ein Elektron herausschlagen, und dabei beachtet man, daß es vier Ionisationslinien gibt, also vier verschiedene Energien für die Valenzorbitale.