Wieso ist die Partialbruchzerlegung nur bei echt gebrochenrationalen Funktionen möglich?
Und gibt es weitere Konditionen zur Anwendung der Partialbruchzerlegung?
Danke
3 Antworten
ist die PBZ auch bei unecht gebrochenrationalen Funktionen. Doch wird man hier - da einfacher - erst mal per Polynomdivision den Funktionsterm in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Teil aufspalten.
Von dem ganzrationalen Teil kannst Du eine Stammfunktion leicht finden. Die PBZ wendest man dann nur noch auf den gebrochenen Teil an.
Die PBZ ist ein "Umweg": ein Bruch, dessen Nenner höhergradig ist,wird in einzelne Brüche mit LinearFaktoren des ursprünglichen Nenners als Nenner angenommen. Die jeweiligen Zähler sind hierbei Variable und du erhältst ein gleichungssystem, durch dessen Lösung du die Zähler erhältst. Jetzt hast du die Funktion so vor dir: f(x) = A/(x+a) + B/(x+b)...
Ein Bruch von der Form A/(x+a) hat die Stammfunktion A·ln(x+a) → Voilà, da ist das Integral :-)
Du solltest dir vor Augen führen was du bei der PBZ genau machst.
Ziel ist es eine komplizierte gebrochenrationale Funktion in mehrere unkomplizierte, leicht zu integrierende Brüche zu zerlegen.
Bei allen anderen Funktionen ist die Methode der PBZ nicht notwendig, weil du eben nicht mit Brüchen arbeitest. Die Zerlegung soll im Endeffekt nur ein Hilfsmittel sein.