Wieso darf man „Trennung der Variablen?“ mathematisch genau genommen gar nicht anwenden?
Wenn einem das Verfahren der Trennung der Variablen zur Lösung von Differentialgleichungen beigebracht wird, wird meistens gesagt, dass dies mathematisch gesehen eigentlich nicht korrekt ist, aber dennoch funktioniert.
Aber: Was genau ist mathematisch nicht korrekt? Wieso funktioniert es trotzdem? Und wie würde es ein Mathematiker „richtig“ machen?
3 Antworten
Die Trennung der Variablen an sich ist nicht falsch aber die oft verwendete Schreibweise ist es.
Meist schreibt man zb
dy/dx = x*y => x dx = 1/y dy und integriert hier.
Diese Schreibweise ist allerdings falsch da dy/dx kein Bruch ist sondern nur ein Symbol für eine Rechenoperation.
Im wesentlichen ist die Operation zwar richtig und auch erlaubt allerdings ist diese vereinfachte Schreibweise nicht wirklich korrekt.
Die korrekte Schreibweise steht hier unter Beispiel:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Trennung_der_Ver%C3%A4nderlichen
In der Regel schreiben aber auch Personen welche die korrekte Schreibweise kennen das Ganze verkürzt an. Allerdings sollge man dabei aber eben immer im Hinterkopf behalten was das eigentlich Verfahren ist sonst kann man da auch leicht Fehler einbauen.
Die Notation für die Ableitung dy / dx wird als gewöhnlicher Bruch behandelt, die Funktion y wird als Variable behandelt.
Weil man bei dem Verfahren voraussetzt, dass die Lösung der DGL sich als Summe 2 er Funktionen schreiben lasst, das ist aber nicht immer der Fall.