Wie würden sie diese Frage beantworten?
„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“
PS: Das Bild ist nur ein Beispiel.
MfG, Tim
9 Antworten
Nur als Ergänzung zur bekannten Lösung. Ganz korrekt ist sie nämlich nicht. Das wäre sie nur, wenn der Moderator jedes Mal fragt, ob man wechseln will.
Will der Moderator hingegen, dass der Spieler nicht gewinnt und bietet ihm nur einen Wechsel an, wenn er das richtige Tor von Anfang an hat, dann darf man natürlich nicht wechseln.
In dem Fall des böswilligen Moderators liegt die Chance ohne Wechsel bei 1:3 und mit Wechsel bei 0.
Es macht keinen Sinn wenn man nicht wechseln kann. Die ganze Fragestellung ist doch, ob man wechseln will
Ja, und die Frage macht eben genau dann Sinn: 1. Der Moderator ist böswillig und bietet dir nun einen Wechsel an, wenn du das richtige Tor hast. 2. Du wählst mit einer 33-prozentigen Wahrscheinlichkeit das richtige Tor. 3. Aus 1 folgt nun, dass der Moderator dir den Wechsel anbietet.
Was machst du nun?
(Es steht nirgends, dass der Moderator jedes Mal einen Wechsel anbietet. Das wäre aber die notwendige Voraussetzung für die bekannte Lösung. Wenn du es nicht weißt, musst du überlegen, ob er dir was böses will oder nicht.)
Es ist ja eigentlich einfach: wechseln führt immer dann zum Ziel, wenn die erste Wahl falsch war. Rein statistisch gesehen ist dies in 2/3 der Spiele der Fall.
Nur in dem 1/3 der Fälle, bei denen man von Anfang an richtig lag, ist ein Wechseln schlecht.
Also: in 2/3 der Fälle führt wechseln zum Erfplg, nur in 1/3 der Fälle zum Misserfolg.
Aber da dieses Thema immer wieder für Diskussionen sorgt, hier mal eine andere Interpretation der Spielrgeln:
Zuschauer wählt ein Tor, Moderator lässt alle Tore bis auf 2 öffnen, von denen eines das gewählte Tor ist, das andere der Hauptpreis. (sollten beide Tore die gleichen sein, bleibt ein weiteres, zufälliges geschlossen)
Bei 3 Toren hat sich jetzt nichts geändert, aber wenn man es nun mit 1000 Toren spielt?
Zuschauer wählt Tor 467. Moderator öffnent nun alle Tore bis auf Tor 467 und Tor 82. Hinter einem ist der Hauptpreis. Wer würde hier bei 467 bleiben? also bei der Überzeugung, dass bereits zu Anfang bei der 1:1000 Chance richtig lag?
Ja, es ist auf jeden Fall von Vorteil zu wechseln.
Es gibt ja drei mögliche Fälle, die eintreten können:
1. Fall: Die Tür mit dem Auto wird vom Kandidaten gewählt. Hier wäre Wechseln hinderlich.
2. Fall: Die Tür mit dem einen Schaf wird vom Kandidaten gewählt. In diesem Fall wäre wechseln zielführend.
3. Fall: Die Tür mit dem anderen Schaf wird vom Kandidaten gewählt. In diesem Fall wäre auch wechseln zielführend.
Es ist also in 2 von 3 Fällen besser, zu wechseln, also besteht eine 66,66666666666... prozentige Wahrscheinlichkeit, dass man, wenn man wechselt, das Auto erhält.
Das stimmt so nicht ganz. Was ist denn, wenn der Moderator böswillig ist und dich nur nach einem Wechsel fragt, wenn er weiß, dass du das richtige Tor gewählt hast?
Es geht in der Frage nicht um das richtige Tor, das spielt hier keine Rolle.
Es geht um die mathematische Chancenverteilung.
Natürlich spielt es eine Rolle. Wenn du weißt, dass der Moderator böswillig ist dann hast du mit Wechseln eine 0-prozentige Gewinnwahscheinlichkeit und ohne Wechseln 33 Prozent. Bei einem böswilligen Moderator fällt deine Wahrscheinlichkeit bei einem Wechsel also um 1/3.
Der Moderator ist aber nicht böswillig, sondern hält sich an die regeln.
An welche Regel denn? Es steht nirgendwo die Regel, dass er dir jedes Mal einen Wechsel anbieten muss. Du kannst nicht einfach eigene Regeln erfinden.
„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“
Zeig mir bitte die Stelle, wo steht, dass sich der Moderator an eine bestimmte Regel halten muss?
der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht.
Ist doch ganz eindeutig. Außerdem ist das beschriebene Problem das Ziegenprogroblem, was feststehende Regeln hat, unabhängig von dem, wie treffend der FS das jetzt hier beschrieben hat.
Ja, natürlich weiß er was hinter den Toren steht. Sonst könnte er ja auch nicht böswillig sein.
Hier die Original-Formulierung:
"Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?"
Auch hier steht nicht geschrieben, dass der Moderator dir jedes Mal einen Wechsel anbietet. Die Antwort (ich glaube sie wurde von Marilyn vos Savant bekannt gemacht) basiert einfach auf einer unbegründeten Vermutung und ist damit nicht eindeutig bzw. sogar fehlerhaft (sofern vos Savant sich auf die selbe Formulierung stützt).
Was ist daran so schwer zu verstehen? Stell dir einfach mal vor wie beide spielen ein Spiel. Du machst 5€ Einsatz und musst dann eines von drei Toren wählen und hinter einem befinden sich 20€. Es würde sich für dich also in jedem Fall vom Erwartungswert her lohnen mit mir zu spielen.
Ich will aber natürlich deine 5€ haben und bin nicht so blöd und biete dir, nachdem ich weiß, dass du das falsche Tor gewählt, noch einen Wechsel an.
Jetzt spielen wir: In 2/3 der Fälle wählst du das falsche Tor und ich biete dir keinen Wechsel an (war ja auch nicht ausgemacht). Macht 5€ für mich.
Jetzt kommt der 1/3 Fall, wo du die 20€ gefunden hättest. JETZT bist du einer Art Gameshow, hast dein Tor gewählt, ich weiß was sich hinter den anderen Toren versteckt, öffne eines der fehlerhaften und biete dir einen Wechsel an (weil ich eben weiß, dass du mit einem Wechsel verlieren wirst). Was machst du?
Wir haben nun die exakt in der Frage beschriebene Fallkonstellation. Ich könnte euch alle abzocken, weil ihr denkt ihr habt die superintelligente Taktik gefunden. Aber am Ende bin ich es, der einen Haufen Geld gewonnen hat.
So wie ich die Regeln des Spiels interpretiere, bietet der Moderator unabhängig davon, welche Tür der Kandidat wählt, einen Wechsel an. Der Moderator hat eben nicht die Wahl, ob er eine Wechsel anbietet, er muss es tun.
Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer 2?
Hier steht ja nicht, dass er nur einen Wechsel anbietet, wenn der Kandidat die Tür mit dem Auto auswählt. Es ist so gemeint, dass der Moderator einfach eine Tür mit einer Ziege öffnet, egal was der Kandidat auswählt. Ohne Wechseln würde das ganze ja auch keinen Sinn machen, da es ja um die Fragestellung geht, ob Wechseln sinvoll ist.
Die Frage macht durchaus Sinn und die Antwort lautet: "Wenn ich wüsste, dass der Moderator jedes Mal einen Wechsel anbietet, dann wechsle ich. Wenn ich das nicht weiß und vermute, dass der Moderator in seinem eigenen Interesse handelt dann wechsle ich nicht."
Ja, aber das wäre dann wieder eine andere Fragestellung. Die Fragestellung lautet, dass der Moderator immer einen Wechsel anbietet.
Tut sie eben nicht. Es steht nirgendwo, dass er immer einen Wechsel anbietet, sondern nur, dass er es jetzt in diesem Fall tut (es könnte natürlich sein, dass er es immer macht, aber sicher ist das nicht).
Ich zeig dir mal ein richtiges Beispiel für einen Fall eines böswilligen Moderators und dem Angebot des Wechsels.
https://www.youtube.com/watch?v=imTIfdUSPAY
Der Anrufer weiß, dass 9Live die Leute verarscht und hat aus dem Grund genau das Tier mit dem Anfangsbuchstaben T genommen, welches so dämlich ist, dass kein normaler Mensch es nehmen würde (9Live macht das, damit sie kein Geld zahlen müssen => Ziel ist die Maximierung des eigenen Gewinns).
Er wählt also mit dem "Stirnlappenbasilisken" die richtige Antwort. Jetzt quatscht die Redaktion dem Moderator aufs Ohr, damit er den Anrufer dazu bringt auf das Geld zu wechseln.
Der Anrufer ist schlau und hat Spieltheorie verstanden. Er erkennt, dass die Gegenseite versucht den eigenen Gewinn zu maximieren. Er lehnt das Angebot ab und gewinnt.
In Deutschland gab es ja "Geh aufs Ganze!" mit Jörg Träger. Hier wurden ebenfalls drei Tore angeboten und dann kam das Angebot für das Wechseln. Die Zuschauer, welche nicht wechselten, haben sich nicht dumm verhalten, sondern sie gingen lediglich von einem böswilligen Moderator aus. In der Show wird aber in der Regel immer ein Wechsel angeboten, weswegen man wechseln hätte sollen (dazu muss man aber die Show öfters sehen).
Aber selbst hier wird es kompliziert, weil der Moderator in vielen Fällen (wenn er nämlich weiß, dass der Kandidat das richtige Tor gewählt hat) versucht dem Kandidaten das richtige Tor abzukaufen. Jetzt müsste man sich tiefer in die Spieltheorie (bekanntes Wissen <> unbekanntes Wissen), Ziel der Gegenseite? und Berechnung von Erwartungswerten begeben.
Würde beim Tor bleiben... Aber die Erklärung im Internet zum Problem machen viel sinn.
Interessantes Problem, werde es mal implementieren und die Wahrscheinlichkeit mit einem Programm versuchen zu verifizieren :)
Da braucht man kein Programm dafür. Die Wahrscheinlichkeit, dass am Anfang das richtige Tor wählst liegt bei 1:3, für das falsche bei 2:3. Vom falschen wechselt man zum richtigen und vom richtigen zum falschen. Mit Wechsel hast du also die doppelte Chance.
werde es mal implementieren und die Wahrscheinlichkeit mit einem Programm versuchen zu verifizieren
Brauchst nicht zu machen, hab ich schon:
#filename: monty_hall.py
#date: 2019-11-24T11:10:00+0100
#author: Isendrak
#license: WTFPL (http://www.wtfpl.net/txt/copying/)
import random
GOAT = 1 #Ziege
CAR = 2 #Auto (oder sonstiger Hauptpreis)
def simulate(n, swap):
win = 0 #Anzahl der Gewinne
doors = [GOAT, GOAT, CAR] #Die Türen in einer Grundbestückung
for i in range(n): #Schleife
random.shuffle(doors) #Türen durchmischen
selected = random.randint(0,2) #Eine der Türen auswählen
car = doors.index(CAR) #Die Position des Autos ermitteln
goats = [i for i in range(3) if doors[i] == GOAT and i != selected] #Alle nicht gewählten Ziegen auflisten
opened = goats.pop() #Eine Ziegentür öffnen
remaining = [car] #Eine Liste der noch nicht geöffneten Türen anlegen und das Auto hinzufügen
if selected != car: remaining.append(selected) #Falls eingangs nicht das Auto gewählt wurde, die gewählte Tür zur "Ungeöffnet"-Liste hinzufügen
if len(goats) > 0: remaining.extend(goats) #Falls sich noch Ziegen in der Ziegenliste befinden, werden auch diese zur "Ungeöffnet"-Liste hinzugefügt
if swap: #Falls die "andere" Tür gewählt werden soll:
del remaining[remaining.index(selected)] #Die gewählte Tür aus der Liste entfernen
selected = remaining.pop() #Die (oberste) verbleibende Tür wählen
if selected == car: win += 1 #Wenn die Tür mit dem Auto gewählt wurde, Gewinnzähler um 1 erhöhen
return float(win)/float(n) #Rückgabe der Gewinnquote (0<=Q<=1)
print("- Monty Hall Wahrscheinlichkeitssimulator -")
print(" Ohne Türwechsel: %3.2f%% (zu erwarten: ca. 33.33%%)"%(simulate(9999,False)*100)) #Simulation von 9999 Spielen OHNE Türwechsel und Ausgabe des Ergebnisses (Gewinnquote) in Prozent
print(" Mit Türwechsel: %3.2f%% (zu erwarten: ca. 66.66%%)"%(simulate(9999,True)*100)) #Simulation von 9999 Spielen MIT Türwechsel und Ausgabe des Ergebnisses in Prozent
Ergebnis: Ohne Türwechsel wird ca. ein Drittel (33,3...%) gewonnen, mit Türwechsel doppelt so viel (66,6...%).
P.S.: https://xkcd.com/1282/ ^^
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich hinter Tor 1 das Auto befindet ist 1:3. Wenn jetzt eines der anderen Tore (mit einer Ziege dahinter) geöffnet wird, ändert das nichts an der Wahrscheinlichkeit. Die ist immer noch 1:3. Folglich sollte man wechseln. Denn dann ist die Wahrscheinlichkeit 2:3.
Dies ist die richtige Antwort. Mehr sag ich dazu nicht.
Mit diesem Thema kann man ganze Partys sprengen.
Man darf immer genau einmal wechseln. Bei mehr oder weniger funktioniert das Problem nicht mehr