Wie wird folgende Aufgabe berechnet?

Ich komme bei dieser anscheinend ziemlich einfach aussehenden Aufgabe überhaupt nicht weiter:

Momentan bin ich so weit, dass ich gesagt habe, dass ich versuche von Typ 2 möglichst viel mit Rohstoff 1 herzustellen und von Typ 3 möglichst viel mit Rohstoff 2, da bei diesen beiden jeweils immer der relative Deckungsbeitrag am höchsten ist.

Nun folgendes Problem: Wenn ich komplett so viel Typ 2 herstellen will, dann habe ich keine Ressourcen mehr für Typ 2 übrig, um weiter zu produzieren. Wie gehe ich weiter vor?

Answer 1

[Hamburger02]

Momentan bin ich so weit, dass ich gesagt habe,

Besser als irgendwas zu sagen wäre es, zu rechnen. Wenn ich rechne kriege ich raus, dass der maximale Deckungsbeitrag von 4794 GE dann erzielt wird, wenn man 79 vom Typ 2 und 138 Stück vom Typ 3 produziert.

Und das geht so:

Zuerst definieren wir:
x = Anzahl Typ 1
y = Anzahl Typ 2
z = Anzahl Typ 3

Nun stellen wir die Funktion für den Deckungsbeitrag auf:
D(x,y,z) = 18x + 24y + 21z

Für diese Funktion mit 3 Variablen können wir kein Maximum berechnen. Wir müssen zwei Variablen loswerden. Das geht, da wir ja zwei zusätzliche Informationen zu den begrenzten Rohstoffen haben. Die pressen wir in zwei Gleichungen:

5x + 2y + 9z = 1400
6x + 12y + 4z = 1500

Die müssen wir nun so umformen, dass wir das y und das z in D durch einen Ausdruck mit x ersetzen können, sodass am Ende ein D(x) überigbleibt

Das umformen der Gleichungen spare ich mir:
beide nach y auflösen und dann gleichsetzen.
Dann nach z auflösen.
Das z in eine der beiden Gleiuchungen y = ... einsetzen.

Es kommt raus:
z = 138 - 0,48x
y = 79 - 0,34x

Das setzen wir in D(x,y,z) ein und erhalten:
D(x) = -0,24x + 4794

Davon müssen wir nun das Maximum bestimmen. Ableiten bringt nichts, weil dann dasteht:
D'(x) = 4794.....aber zumindest wissen wir, dass der maximale Deckungsbeitrag 4794 GE beträgt, aber das x haben wir nicht rausgekriegt.

Da gucken wir uns D(x) nochmal an: das ist eine Geradengleichung und Geraden haben nie ein lokales Maximum. Also betrachten wir die Randwerte und sehen, alles mit x wird negativ und verringert den Deckungsbeitrag von 4794 GE. Also ist es sinnvoll, 0 Stück vom Typ 1 zu produzieren.

Miz x = 0 können wir nun auch die beiden Gleichungen
z = 138 - 0,48x
y = 79 - 0,34x
lösen und erhalten:
z= 138
y = 79

Ergebnis: den maximalemn Deckungsbeitrag von 4794 GE erhalten wir, wenn wir 0 Stück vom Typ 1, 79 vom Typ 2 und 138 vom Typ 3 produzieren.

Mit der Probe bestätigen wir:
D(0, 79, 138) = 4794

5*0 + 2*79 + 9*138 = 1400
6*0 + 12*79 + 4*138 = 1500

Gegenprobe:

angennommen wir produzieren 2 Stück Typ1, 78 Typ 2 und 137 Typ 3, kommen wir mit den Rohstoffen auch hin. Der Deckungsbeitrag wäre dann:
D = 18*2 + 24*78 + 21*137 = 4785 ...also knapp unterm Maximum.