Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Ich würde mich über einen Lösungsweg freuen
2 Antworten
Die beiden ungenannte Farben seien Grün und Gelb.
Man kann ja schrittweise vorgehen. Mit rt(n), bl(n), gn(n) und ge(n) bezeiche ich die Anzahl der möglichen Girlanden der Länge n, die mit einem Wimpel der Farbe rot, blau, grün bzw. gelb enden.
Es ist also rt(1) = 1 und bl(1) = gn(1) = ge(1) = 0.
Die rekursive Bildungsvorschrift ist
rt(n+1) = bl(n) + gn(n) + ge(n), denn alle mit blau, grün und gelb endenden Girlanden können mit einem roten Winpel fortgesetzt werden. Analog dazu ist
bl(n+1) = rt(n) + gn(n) + ge(n)
gn(n+1) = rt(n) + bl(n) + ge(n)
ge(n+1) = rt(n) + bl(n) + gn(n)
Wenn die Girlande hundert Wimpel hätte, müsste man sich eine Formel ausdenken und durch vollständige Induktion beweisen. Das verkneifen wir uns hier und arbeiten das schrittweise ab:
rt(2) = bl(1) + gn(1) + ge(1) = 0 + 0 + 0 = 0
bl(2) = rt(1) + gn(1) + ge(1) = 1 + 0 + 0 = 1
gn(2) = rt(1) + bl(1) + ge(1) = 1 + 0 + 0 = 1
ge(2) = rt(1) + bl(1) + gn(1) = 1 + 0 + 0 = 1
und weiter ganz stur
rt(3) = 1 + 1 + 1 = 3
bl(3) = 0 + 1 + 1 = 2
gn(3) = 0 + 1 + 1 = 2
ge(3) = 0 + 1 + 1 = 2
Da bl(n), gn(n) und ge(n) immer gleich sind, sparen wir und die Hälfte der Arbeit
rt(3) = 1 + 1 + 1 = 3
bl(3) = 0 + 1 + 1 = 2 = gn(3) = ge(3)
rt(4) = 2 + 2 + 2 = 6
bl(4) = 3 + 2 + 2 = 7 = gn(4) = ge(4)
rt(5) = 7 + 7 + 7 = 21
bl(5) = 6 + 7 + 7 = 20 = gn(5) = ge(5)
rt(6) = 20 + 20 + 20 = 60
bl(6) = 21 + 20 + 20 = 61 = gn(6) = ge(6)
rt(7) = 61 + 61 + 61 = 183
bl(7) = 60 + 61 + 61 = 182 = gn(7) = ge(7)
rt(8) = 182 + 182 + 182 = 546
bl(8) = 183 + 182 + 182 = 547
Es gibt 547 Girlanden, die mit einem blauen Wimpel enden (und mit einem roten Wimpel beginnen).
Und dafür gibt es nur 3 Punkte?
3^5 * 3 (6. Wimpel ist blau) oder 3^5 * 2 (6. Wimpel ist nicht blau)
Ich war auch gerade dabei. Und denke, dass das so okay ist!
Man kann dann die beiden Werte noch addieren. ;-)