Wie verändert sich der Ableitungsgraph, wenn die Funktion gestaucht/gestreckt/verschoben wird?
Wie verändert sich die Funktion f'(x), wenn man f(x) in x-Richtung streckt oder staucht, in y-Richtung streckt oder staucht und in x-Richtung verschiebt? Ich habe das selber schon mit mehreren Beispielen gemacht und auch gezeichnet, brauche eine allgemein formulierte Antwort dazu. Also denkt nicht, ich hätte selber nichts getan oder so. Ich weiß auch schon, dass die Verschiebung in y-Richtung für die Ableitung irrelevant ist. Aber wie kann ich das in Worten gut erklären, was in den anderen Fällen passiert? Beispiele habe ich selber genügend, aber ich brauche eine Art allgemein gültige Formulierung/"Regel", was in den Fällen passiert sozusagen. Und ich selber wüsste jetzt nicht, wie diese zu formulieren sein sollte. Danke für die Hilfe.
3 Antworten
Na was bedeutet den f'? Es bedeutet Steigung. Schau dir doch mal eine x^2 an. Dort ist die f'(0)=0, weil sie an x0 keine Steigung hat. Verschiebt man die Funktion nun nach rechts oder links, so ist f'(0) nicht mehr 0. Verschiebt man die Funtion nur nach oben oder unten bleibt die Steigung bei x0 0. Das gleiche wenn sie gestreckt wird. Aber wenn sie gestreckt wird ist f'(1) steiler als die normale x^2.
Hoffe das war irgendwie verständlich.
Edit: Hätte deine Frage ganz lesen sollen, sorry. Ich hoffe du kannst trotzdem was damit anfangen.
Das ergibt sich sofort aus den Ableitungsregeln:
- Streckung in y-Richtung: g(x) = a·f(x) — g'(x) = a·f'(x)
Die Ableitung wird ebenfalls gestreckt. - Streckung in x-Richtung: g(x) = f(b·x) — g'(x) = b·f'(b·x)
[Kettenregel mit z=bx]. Die Ableitung wird ebenfalls gestreckt, und zusätzlich auch um den selben Faktor in y-Richtung. - Verschiebung in y-Richtung: g(x) = f(x)+c — g'(x) = f'(x)
Die Ableitung ändert sich nicht. - Verschiebung in x-Richtung: g(x) = f(x+d) — g'(x) = f'(x+d)
[Kettenregel mit z=x+d]. Die Ableitung wird ebenfalls verschoben.
Dass g(x) = f(b·x) den Graphen von f in x-Richtung streckt (b<1) oder staucht (b>1), ist hoffentlich klar. Sonst skizziere mal f(2x) im Bereich [0, 2] für eine Funktion f Deiner Wahl. Um die Werte für 0, 1 und 2 zu erhalten, musst Du f an den Stellen 0, 2 und 4 auswerten. Der Graph wird also auf die halbe Breite gequetscht.
Zum Ableiten musst Du nur die Kettenregel anwenden: Die innere Funktion ist b·x, und deren Ableitung ist b.
Du brauchst es nur auszurechnen -
Ableitung von f(x+a)?
Ableitung von a* f(x)?
Danke für die Antwort. darauf, dass Streckung in y-richtung nichts ändert, bin ich auch gekommen. Streckung in y-richtung und Verschiebung in y-richtung finde ich auch logisch soweit, jetzt wo ich das sehe. nur noch die Streckung in x-richtung.. das erschließt sich mir noch nicht ganz. woher weiß ich, dass ich bei*f'(b*x) rechnen muss?