Wie verändere ich die Wkt so, dass das Spiel fair ist?

Die Abi Aufgabe ist von 2016 Aufgabe 8

Nur die Wkt von 1 und 2 sollen so verändert werden, dass das Spiel fair ist. Der Einsatz ist 2,50 Euro und Auszahlungsbetrag ist die angezeigte Zahl. Die Lösung dazu hätte ich, aber ich verstehe trotzdem nicht ganz so recht, wie die Abhängigkeit zw Wkt für 1 und 2 besteht.

Answer 1

[mihisu]

Du sollst die Wahrscheinlichkeiten von 1 und von 2 so ändern, dass das Spiel fair wird. Ich nenne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mal a und b.

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Nun ist es allgemein so, dass man 1 (= 100 %) erhalten muss, wenn man die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse aufsummiert. [Im konkreten Fall sollen wohl nur die Zahlen 1, 2, 3, 4 möglich sein.] Demnach erhält man die Gleichung...

$a+b+0\text{,}3+0\text{,}2=1$

Das kann man zu...

$a+b=0\text{,}5$

... umformen. Die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten a und b muss also 0,5 bleiben.

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Andererseits sollen die Wahrscheinlichkeiten nun so gewählt werden, dass das Spiel fair ist. Das Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn gleich 0 ist. (Wobei „Gewinn = Auszahlung - Einsatz“ ist.) Für den Erwartungswert der Auszahlung erhält man...

$1\cdot a+2\cdot b+3\cdot0\text{,}3+4\cdot0\text{,}2$

Subtrahiert man davon den Einsatz (2,50), erhält man den Erwartungswert für den Gewinn. Dieser Erwartungswert soll dann gleich 0 sein.

$1\cdot a+2\cdot b+3\cdot0\text{,}3+4\cdot0\text{,}2-2\text{,}50=0$

(Bzw. könnte man das auch so sehen, dass „erwartete Auszahlung = Einsatz“ sein soll, was auf die dazu äquivalente Gleichung 1 ⋅ a + 2 ⋅ b + 3 ⋅ 0,3 + 4 ⋅ 0,2 = 2,50 führt.)

Die Gleichung kann man zu...

$a+2b=0\text{,}80$

... vereinfachen.

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Nun hat man die beiden Gleichungen...

$a+b=0\text{,}5\ \text{ und }\ a+2b=0\text{,}8$

... die ein Gleichungssystem bilden, welches man lösen kann, um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten a = 0,2 und b = 0,3 zu erhalten.

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

der Durchschnittsgewinn pro Spiel beläuft sich auf 0,4*1+0,1*2+0,3*3+0,2*4=2,30 €.

Bezahlt wird aber 2,50 €, so daß ein durchschnittlicher Verlust von 0,20 € pro Spiel für den Spieler entsteht.

Damit das Spiel fair ist, müßten die Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn von einem und zwei Euro so verändert werden, daß insgesamt 0,20 € pro Spiel mehr an Gewinn herausspringt. 0,4*1+0,1*2=0,6. Es sollen aber 0,8 herauskommen.

Es muß also gelten: x+2y=0,8 und x+y=0,5, denn die Wahrscheinlichkeit für beide Ereignisse muß bei 0,5 bleiben.

Dieses Gleichungssystem sollte zu lösen sein.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 3

[Wechselfreund]

Die Summe der W.keiten muss 1 bleiben:

x + (0,5-x) +0,3 +0,2 = 1