Frage von Blado1, 120

Faires Spiel?

Ich befinde mich gerade wieder in der Prüfungsvorbereitung und musste feststellen, dass ich mit dem fairen spiel gar nicht zu recht komme. mein größtes Problem ist die Tabelle. Komme ich mal zur Aufgabe: Bei einem Glücksspiel werden 2 Würfel geworfen. Wenn das Produkt X der Augenzahö mindestens 10 beträgt, erhält man X cent ausgezahlt, sonst nichts. a) Wie groß ist der Erwatungswert für einen Gewinn bei einem Einsatz von 20 Cent? b) Wie groß muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?

Ich weiß, das nur 10,11 und 12 gewinnen. Das heißt, dass 6 aus 36 Möglichkeiten gewinnen. Kann mir jemand erläutern wie man die Tabelle aufstellt?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 67

Hallo,

gefragt ist nach dem Produkt, nicht nach der Summe. Das Produkt zweier Würfelzahlen ist in 19 von 36 Fällen größer oder gleich 10.

Das kannst Du leicht nachprüfen. 

Zeigt der erste Würfel eine 1, führt keine Kombination zu einem Produkt von mindestens 10.

Bei einer 2 passen nur eine 5 und eine 6.

Bei der 3: 4, 5 und 6

4: 3, 4, 5 und 6

5 und 6: jeweils 2, 3, 4, 5 und 6

Das sind 2+3+4+5+5=19 Möglichkeiten.

Wann ist das Spiel fair?

Wenn Du alle 36 Möglichkeiten durchspielst und jede Möglichkeit geschieht genau einmal, hast Du insgesamt 1,90 Euro eingenommen (19*0,10). Dafür hast Du 36 mal einen Einsatz bezahlt.

Soll das Spiel fair sein, mußt Du pro Spiel 190/36 Cent=5,28 Cent bezahlen. Dann hättest Du am Ende genausoviel bezahlt wie gewonnen.

Zahlst Du 20 Cent pro Einsatz, liegt Dein Verlust nach 36 Spielen (im idealen Fall, daß jede Möglichkeit genau einmal vorkommt), bei 36*0,20=7,20-1,90=5,30 Euro, pro Spiel also bei 530/36=14,73 Cent.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Blado1 ,

Danke habe ich auch raus bekommen nachdem ich herausgefunden habe, dass das Produkt gefragt ist.

Kommentar von Blado1 ,

Kommt zwar jetzt ein wenig komisch rüber, aber nachdem ich die Aufgabe gerechnet habe, habe ich sie mir noch einmal angeschaut und meine Aufzeichnungen waren wohl nicht genug. Jetzt komme ich jetzt einfach nicht mehr daran, woher die 1.90 stammen. Es sind zwar 19 Gewinnmöglichkeiten, aber die 0,1 lassen sich mir nicht erblicken. Kannst du mir dies beantworten?

Kommentar von Willy1729 ,

Die 1,90 wären der Gewinn in Euro, wenn Du alle 36 Möglichkeiten durchgespielt und für die 19 Kombinationen mit einem Produkt größer oder gleich 10 jeweils 10 Cent bekommen hast: 19*0,10=1,90 €.

Kommentar von Blado1 ,

Ich stehe gerade auf dem Schlauch, aber wo steht, dass man pro Gewinn 10 Cent bekommt?

Kommentar von Willy1729 ,

Gute Frage. Habe ich vielleicht das x für eine römische Zehn gelesen? Keine Ahnung. Aber die Lösungsstrategie ist ja klar.

Kommentar von Blado1 ,

Nun bin ich komplett verwirrt, heute scheint echt nicht mein Tag zu sein. Ich würde es so rechnen: 1/36* (-0,2)+... bis ich über der Augenzahl 10 komme, dann müsste ich ja z.B. 2/36*(X-0,2) rechnen?

Kommentar von Willy1729 ,

Wenn Du pro Spiel 20 Cent bezahlst, sind das bei 36 Spielen 7,20 Euro. Die mußt Du bei einem fairen Spiel wieder hereinbekommen.

Wenn Du pro Gewinn 38 Cent ausgezahlt bekommst, haut das ungefähr hin: 720/19=37,89473684

Kommentar von Blado1 ,

Also bei 38 Cent Einsatz ist das Spiel fair?

Wenn es dir nichts ausmacht, könntest du mir evtl noch bei einer anderen Aufgabe helfen? " Bei einer Meinungsumfrage werden erfahrungsgemäß nur ca. 80% der ausgesuchten Personen angetroffen. mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht jeweils die Anzahl der angetroffenen Personen höchstens um 10 vom Erwartungswert ab , wenn 50 bzw 100 Personen ausgesucht werden? Der Erwartungswert ist doch 80 oder? Ich habe bei 50 Personen 0,000136 heraus, aber ich habe das Gefühl, das ist falsch, da ich keine Idee habe wie die 100 einbauen sollte.

Kommentar von Willy1729 ,

Das müßtest Du eigentlich über eine Bernoulli-Summe berechnen können. Der Erwartungswert bei 100 Personen läge bei 80 % Wahrscheinlichkeit, jemanden anzutreffen, bei 80 angetroffenen Personen. Du mußt dann die Wahrscheinlichkeiten dafür berechnen, daß 70, 71, 72 ...89, 90 Personen angetroffen werden und daraus die Summe bilden. Hast Du einen Taschenrechner mit Summenfunktion, ist das schnell erledigt: Summe von x=70 bis x=90 von (100 über x) mal 0,8^x mal 0,2^(100-x)=0,9916, also 99,16 %.

Was das Spiel betrifft: Bei 38 Cent Gewinn wäre es fair, der Einsatz betrug doch 20 Cent.

Bei 50 Personen liegt der Erwartungswert bei 40 und Du mußt die Zahlen entsprechend angleichen.

Antwort
von Melvissimo, 60

Wenn ich eine 3 und eine 6 würfle, ist das Produkt der Augenzahlen doch 18, also auch mindestens 10... Also können nicht nur 10, 11 und 12 gewinnen.

Ich weiß zwar nicht so genau, was für eine Tabelle du aufstellen möchtest, aber um den Erwartungswert zu bestimmen, brauchst du für jedes mögliche Produkt die Wahrscheinlichkeit sowie den dazugehörigen Gewinn. Beispiel:

  • Das Produkt 1 ist nur möglich, falls ich einen Einser-Pasch würfle. Dies passiert mit W-keit 1/36. Der Gewinn in diesem Fall beträgt -20ct. 
  • Das Produkt 2 ist nur möglich, falls ich eine 1 und eine 2 würfle. Dies passiert mit W-keit 2/36. Der Gewinn beträgt wieder -20ct. 
  • Das Produkt 4 ist möglich, falls ich eine 1 und eine 4 oder einen Zweier-Pasch würfle. Dies passiert mit W-keit 3/36. Der Gewinn beträgt -20ct.

(ich habe hier aus Faulheit das Produkt 3 übersprungen). So rechnest du für jedes mögliche Produkt der beiden Augenzahlen die W-keit sowie den dazugehörigen Gewinn aus. 

Die möglichen Produkte liegen offenbar alle zwischen 1 und 36, aber nicht alle Zahlen treten auf. So ist 7 z.B. kein Produkt zweier Zahlen zwischen 1 und 6.

Am Ende berechnest du den Erwartungswert als 

E(X) = p(1) * f(1) + p(2) * f(2) + p(3) * f(3) + ... + p(36) * f(36).

Hierbei steht p(k) für die W-keit, dass das Produkt k geworfen wird und f(k) für den Gewinn, falls das Produkt k geworfen wird.

Kommentar von Blado1 ,

Da steht Produkt und nicht Summe, ich Idiot..

Jetzt macht die Aufgabe auch Sinn, vielen Dank. :)

Antwort
von leiermann, 48

Hallo Blado1,

schau mal hier:

http://www.matheboard.de/archive/8858/thread.html

Gruß von leiermann

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