Wie Transformationsmatrix im Raum der Polynome berechnen?

Hey, ich habe folgende Aufgabe:

mit a) bin ich fertig.

Bei b) verstehe ich leider gar nicht so was zu tun ist. Was sind Basen im Raum der Polynome? Und woher weiß ich welche sinvoll zu verwenden sind?

Ich hätte vermutet, dass { x^n, x^(n-1), ... , x³, x², x, 1} eine Basis ist, aber das ist auch die einzige die mir einfallen würde. Und kann man diese irgendwie schöner aufschreiben?

Im nächsten Teil soll ich ja die Transformationsmatrix finden. Wie kann ich mir diese Vorstellen ? Stehen da einfach nur Zahlen drin wie bei einer gewöhnlichen matrix, oder jetzt auch Polynome?
Wie komme ich auf diese Matrix, wenn ich meine beiden Basen gefunden habe?

Ich bin sehr dankbar für jede Hilfe!
LG AwakenedChild

Answer 1

[berndao2]

vorab:
die defmenge sind polynome vom grad maximal n.
die wertemenge sind polynome vom grad maximal n.
ich würde die selbe basis benutzen wie du.
übrigens ist (p*x)'=p'*x+p*1 am Rande.

mal überlegen:
sagen wir p hat die potenzen 0 bis n.
dann hat p*x die potenzen 1-(n+1).
dessen ableitung wiederum hat potenzen 0-n.

also hat f(p) ebenso die potenzen 0 bis n.
Deshalb müsstest du für Wertemenge und Bildmenge die selben Basen benutzen können, nämlich die von dir erwähnte.

die matrix zu bestimmen ist keine allzu schöne aufgabe:
Seien ei (e0 bis en naheliegenderweise) die basisvektoren.
dann willst du nun das bild von e0 als linearkombination der basisvektoren darstellen.
also f(e0)=f(1)=f(x^0)=(x^0*x)'
=(x^(0+1))'=(x^1)'=x^0

allgemein f(ei)=f(x^i)=(x^(i+1))'=x^i=e^i

demnach ist
f(e0)=e0==1*e0+0*e1+...+0*en
f(e1)=e1=0*e0+1*e1+...+0*en
usw.

Schreibt man nun die koeffizientenvektoren hintereinander in eine Matrix M, so ist M einfach die Einheitsmatrix.

Weil halt jeder Basisvektor auf sich selbst abgebildet wird :-)

Comments

[eterneladam]

Mir scheint bei der Ableitung ging ein Faktor i+1 verloren.

[eddiefox]

Hi,

ein kleiner Fehler bei der Ableitung, du hast einen Faktor vergessen:

f(ei) = (x^i • x)' = ( x^(i+1) )' = (i+1)•x^i

M ist also nicht die Einheitsmatrix, d.h.

f(1) = (1•x)' = 1
f(x) = (x•x)' = (x²)' = 2x
f(x²) = (x² • x)' = (x³)' = 3x²
...
f(xⁿ) = (xⁿ • x)' = (xⁿ⁺¹)' = (n+1)xⁿ

Gruß

[berndao2]

@eddiefox

ups, das stimmt :-)
Dann steht auf der Diagonalen eben 1/(i+1) wobei i die zeilen/spaltenzahl ist :-)
ergo 1/2 bis 1/(n+1) auf der diagonalen

[awakenedChild]

Vielen Dank! Hat mir sehr geholfen