Laguerre Polynome und ONB?

Hallo,

in einem Übungsbuch habe ich folgende Aufgabe gefunden. Ich weiß, wie ich zeigen kann, dass L0, L1 und L2 orthonormal stehen, aber ich verstehe nicht ganz, wie L0, L1 und L2 eine Basis von Polynomen vom Grad 3 sein können?

(Nach meinem Wissen bedeutet ONB, dass ich mittels Linearkombination der Basisvektoren den ganzen Raum erzeugen kann und dass die Skalarprodukte der Basisvektoren dem Kronecker-Symbol entsprechen.

Ich freue mich auf jeden Fall über Antworten/Hinweise.

Viele Grüße,

Manuel

Answer 1

[DerRoll]

Wenn die drei Polynome orthogonal zueinander stehen sind sie linear unabhängig und damit eine Basis des von ihnen aufgespannten Raumes. Das wurde im ersten Semester Lineare Algebra gezeigt. Das "dritter grad" ist ein Druckfehler, die Dimension des Raumes ist drei.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[ewvwvfjef]

Hallo Roll,

danke sehr. Ich hatte nie LA, sondern nur HM, aber soviel hab auch ich verstanden ;-)

Dass L0, L1 und L2 ein Erzeugendensystem aller Polynome vom Grad 2 sind sehe ich demnach auch, ich war mir nur nicht sicher, ob es ein Druckfehler in der Aufgabe oder ein Denkfehler meinerseits ist.

Danke und noch einen schönen Abend!

Answer 2

[YBCO123]

Reicht es nicht zu zeigen, dass für m<n

$\left\langle x^m,\ L_n\left(x\right)\right\rangle=\int_0^{\infty}\ e^{-x}\ x^mL_n\left(x\right)\ dx\ =\ 0\$ ist?

Answer 3

[ewvwvfjef]

Dankeschön :D

Ich dachte schon, dass der Fehler bei mir liegt...dass L0, L1 und l2 ein Erzeugendensystem von Polynomen 2. Grade sind sehe ich auch 👍🏻