Wie stellt man eine Polynomfunktion 3. Grades auf?
Als diese Aufgabentypen im Unterricht behandelt wurden, war ich leider krank und bin bis jetzt ohne Polynome ausgekommen. Eigentlich bin ich gut in Mathe, schaffe jetzt den Einstieg jedoch nicht. Nun soll ich aber eine Polynomfunktion 3. Grades aufstellen, weiß jedoch nicht, wie man das mit den vorhandenen Informationen macht. Ich habe einen Sattelpunkt bei P(2/3), den Y-Achsenabschnitt bei P(0/6) und eine Nullstelle bei P(4/0). Wie löse ich nun das Gleichungssystem?
Wenn ich die Funktion habe, soll ich die Fläche ausrechnen, die von der Funktion und von beiden Achsen umschlossen wird. Das schaffe ich aber problemlos alleine. Vielen Dank für eure Hilfe!
4 Antworten
Also allgemeine Gleichung: f(x)= ax^3 +bx^2 + cx + d
Hier als Foto ist verständlicher als die hochzahlen hier zu schreiben😂
Ich hoffe ich hab nix falsch eingesetzt🙈
Vielen lieben Dank an dich! Ich habe es geschafft, die Funktion aufzustellen und habe alles kontrolliert! Passt alles. Danke!!
Super sehr gut! Und wenn du so Aufgabe hast dann Merk dir: du brauchst immer 1 Bedingung mehr als die Funktion von grad her ist!
Also wenn du jetzt hier den grad 3 hast brauchst du 4 Bedingungen :)
Aha; eine typische Steckbriefaufgabe. Wie ich das mache? Keine ohne schmutzige Tricks; deine Aufgabe wird sein, mich auszutricksen. Junge das ist bisher erst einem geglückt.
Meine Tricks verfolgen den einen guten Zweck, die Anzahl der Unbekannten so gering wie möglich zu halten; schönen Gruß an deinen Lehrer. Eine Unbekannte reicht vollkommen. Wie in der Geometrie musst du immer was sehen; hier heißt die Zauberformel: ===> Taylorentwicklung; das ist überhaupt nix Böses. Du musst dich einfach mal daran gewöhnen, dass man jedes Polynom f ( x ) um jeden Stützpunkt x0 entwickeln kann. Für 3. Grad gilt
f ( x0 + h ) = ( 1a )
= f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + ... ( 1b )
+ ( h ² / 2 ) f " ( x0 ) + a3 h ³ ( 1c )
mit
h := x - x0 ( 1d )
Wir hatten gesagt, x0 = 2 ist TERRASSENpunkt ( TP ) ( Ein Sattelpunkt ( SP ) ist etwas anderes; ein Sattel ist immer eine ( mindestens ) zweidimensionale Fläche, die in einer Richtung ein Maximum und in einer anderen ein Minimum hat; damit ist aber ein SP auch schon ein verallgemeinertes Extremum. )
Schreib dir mal die Bedingungen für TP auf:
f ( x0 ) = 3 ( 2a )
f ' ( x0 ) = f " ( x0 ) = 0 ( 2b )
( 2b ) kodiert die eigentliche Info für TP; hey für uns sind das aber keine Bedingungsgleichungen mit Unbekannten. ( 2ab ) wird eingegeben in ( 1bc )
f ( x0 + h ) = 3 + a3 h ³ ( 3 )
wobei wie versprochen a3 die einzige Unbekannte ist. Ich schick jetzt erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist; es folgt aber noch ein Teil 2 .
Dankeschön für deine ausführliche Antwort! Deine Ansätze verstehe ich leider nicht so recht und werde sie daher eher nicht anwenden (können), was für jemanden in einem Grundkurs Mathematik (Q1), der beruflich nichts machen möchte, wo dies relevant sein wird, völlig in Ordnung ist. Gruß und danke :)
Nun, eine Gleichung 3. Grades hat die Form
y = a x³ + b x² + c x + d.
d kennst Du bereits anhand der Nullstelle 0,6. Den Rest kannst Du Dir anhand eines Gleichungssystems, das Du Die aus den drei Punkten bildest, aufstellen. Nehmen wir einmal den Sattelpunkt:
3 = a * 2 * 2 + b * 2 * 2 + c * 2 + d (=6).
Und genauso verfährst Du mit den übrigen angegebenen Punkten. Dann hast Du ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten, das Du ausrechnen kannst.
Polynom dritten Grades allgemeine Form f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
Gegeben ist f(4) = 0 und f(0) = 6
Aus dem Sattelpunkt folgt f(2) = 3, aber auch
f'(2) = 0
f''(2) = 0
f'''(2) != 0
Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem für a,b,c,d
Ich habe einen besonderen Grund, warum ich noch diese Ergänzung schreibe. Unmittelbar klar muss sein: Für ein Polynom 3 . Grades brauchst du vier Vorgaben; du hast aber fünf. Bei einem LGS mit vielen Unbekannten stellt sich immer die Frage, ob es ===> schlecht konditioniert ist oder sogar ===> linear abhängig; in der Uni wären diese halsbrecherischen Eskapaden bei den Steckbriefaufgaben gar nicht zugelassen. Meine Tricks haben durchaus ihren guten Sinn; bei einer Taylorreihe ist ja klar: Jeder Koeffizient bedeutet eine zulässige Bedingung.
Aber prüfen wir doch mal, für x = 0 , entsprechend h = ( - 2 ) , soll f ( x ) = 6 .
- 8 a3 + 3 = 6 ===> a3 = ( - 3/8 ) ( 2.1a )
Und jetzt alternativ die Nullstelle bei x = 4 , das wäre also h = ( + 2 )
8 a3 + 3 = 0 ( 2.1b ) ; ok
Es erweist sich als konsistent; aber fünf Bedingungen sind immer schlecht konditioniert.
Ich war wie gesagt Mega genial. Aber jetzt muss ich den Preis zahlen; mühsam ernährt sich das Eichhörnchen. Wir müssen die Reihe natürlich reduzieren auf x = 0 entsprechend h = ( - 2 )
a0 = f ( 0 ) = 6 ( 2.2 )
( 2.2 ) war uns ja gegeben; jetzt die erste Ableitung von ( 1.3 ) unter Berücksichtigung von ( 2.1a )
f ' ( x0 + h ) = - 9/8 h ² ( 2.3a )
a1 = - 9/2 ( 2.3b )
Ist das Prinzip klar?
1/2 f " ( x0 + h ) = - 9/8 h ( 2.4a )
a2 = 9/4 ( 2.4b )
f ( x ) = - 3/8 x ³ + 9/4 x ² - 9/2 x + 6 ( 2.5 )
Najaa; wäre es für die Integration nicht doch ratsamer, den Nullpunkt nach x0 = 2 zu verlegen und ( 1.3;2.1 ) zu benutzen?
Es ist wie eingangs erwähnt; zusätzlich zu der größeren Einfachheit besitzt ( 1.3 ) den Vorteil gegenüber ( 2.5 ) ,dass du die Existenz weiterer Knoten ausschließen kannst: bei der Integration spielt das schon eine Rolle.