Frage von Chrisok, 59

Mathematik: Umgekehrte Kurvendiskussion?

Hallo, Ich habe folgendes Mathematikbeispiel:

Ermittle die Gleichung der Polynomfunktion 3. Grades mit gegebenen Eigenschaften: Die Funktion hat einen Sattelpunkt S(1|4). der Koeffizient von x^3 lautet 1.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 38

Hallo,

da der Koeffizient von x³ gleich 1 ist, lautet die allgemeine Form Deiner Funktion f(x)=x³+ax²+bx+c.

Aus der Angabe Sattelpunkt bei (1|4) kannst Du gleich drei Informationen gewinnen:

f(1)=4

f'(1)=0

f''(1)=0

f'(x)=3x²+2ax+b

f''(x)=6x+2a

Aus dem letzten folgt: f''(1)=6+2a=0, also: 2a=-6, a=-3

Einsetzen in f'(1):

3-6+b=0, b=3

Einsetzen in f(4):

1-3+3+c=4, c=3

Zusammenbauen:

f(x)=x³-3x²+3x+3

f'(x)=3x²-6x+3

f''(x)=6x-6

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Chrisok ,

Wir haben es in unserer Schule mit Matrizen gelernt, daher verstehe ich den Lösungsweg nicht wirklich :/

Kommentar von Wechselfreund ,

Dann musst du aus den Gleichungen die Matrix herstellen und damit das Gleichungssystem lösen.

Kommentar von Chrisok ,

Brauch ich für eine Gleichung 3. Grads nicht normalerweise 4 Infos?

Kommentar von Willy1729 ,

Die hast Du doch: Der Parameter von x³=1, f(1)=4, f'(1)=0, f''(1)=0

Kommentar von Willy1729 ,

Mein Weg ist im Prinzip das Gleiche in Grün, nur ein wenig abgekürzt.

Wichtig ist doch nur, daß Du aus den Angaben die richtigen Informationen ziehst.

Du hast erst einmal vier Unbekannte, nämlich die Parameter vor x³, x², x und die Zahl ohne x.

Eine Unbekannte fliegt gleich raus, weil ja bereits in der Aufgabenstellung angegeben ist, daß vor x³ eine 1 steht, also im Grunde nix.

Bleiben noch drei Unbekannte a, b und c:

f(x)=x³+ax²+bx+c

Nun hast Du drei weitere Angaben, mit denen Du den Rest berechnen kannst, nämlich f(1)=4, f'(1)=0, f''(1)=0

Wenn Du unbedingt eine Matrix brauchst:

f(1): 1+a+b+c=4

f'(1): 3+2a+b=0

f''(1): 6+2a=0

Daraus bastelst Du folgende Matrix:

1 1 1 3
2 1 0 -3
2 0 0 -6

a=-3

b=3

c=3

Kommentar von Chrisok ,

Dankesehr! 

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 32

y=x³+bx²+cx+d

f(1)=4

f ' (1)=0

f " (1)=0

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