Wie rechnet man damit?
Hallo! Ich beschäftige mich in Mathe gerne mit n-Dimensionalen Dingen.
Zum Beispiel ein 4-Dimensionaler Würfel mit Seitenlänge 1 hat glaube ich die Diagonale 2. Und er hat 16 Ecken. Aber was ist mit der 0.5-ten Dimension? Hat der Würfel dann Wurzel(2) Ecken? Und 0.5 Seiten? Wie rechne ich dann damit? Kann ich dann eine Seitenlänge aussuchen, sie halbieren und damit rechnen? Ich glaube nicht. Und wie berechne ich bei einem 5-Dimensionalen Quader die "Oberfläche"? Muss ich dann einfach die Anzahl der Seiten mal die Kombinationen mit den Seiten längen machen? Also ich bin in der 5-ten Dimension, und habe die Seitenlängen a, b, c, d und e und will die Oberfläche berechnen. Muss ich dann alle Kombinationen mit 4 Seitenlängen durchgehen? Also: a*b*c*d+b*c*d*e+c*d*e*a+d*e*a*b
Ich glaube schon.
Und wie berechne ich bei der n-ten Dimension mit verschiedenen Seitenlängen? Also z.b: 5-te Dimension und die Seitenlängen sind: 1, 5.3, Pi. 4-2i, -5
Kann mir das bitte jemand sagen?
2 Antworten
Dann ist dein Thema ja Hilbertwürfel .
Und das n bei n-dimensional kann mW nur aus N stammen
Aber bei Fraktalendimensionen gibt Wiki den Hinweis : Neben den bislang angegebenen ganzzahligen Dimensionen kennt man auch verallgemeinerte, rational- oder reellzahlige Dimensionsbegriffe, mit deren Hilfe sogenannte Fraktale verglichen werden können.
Und das noch : Das Hyperrechteck ist das Thema für Quader
Um das Volumen in höheren Dimensionen zu berechnen, muss man sich erstmal überlegen wie man einen Art Volumensbegriff in diesen Dimensionen definiert. Das uns aus 3 Dimensionen bekannte Volumen, lässt sich mittels des Lebesgue-Maßes λ auf n Dimensionen verallgemeinern. Dieses hat die wichtige Eigenschaft, dass sich per Definition das "Volumen" n-dimensionale "Rechtecke" so berechnen lässt, wie man es von Dimension 1,2,3 (Länge, Flächeninhalt, Volumen) kennt. Also:
Damit erhalten wir für einen n-dimensionalen Würfel [a,b]x...x[a,b] ein Volumen von (b-a)^n.
Das Problem bei Oberfläche ist, dass wir uns erst einmal überlegen müssen, wie sich diese zusammensetzt. Bei n Dimensionen haben wir nicht nur 0,1,2 dimensionale Objekte (Punkt, Kante, Fläche) als Teil des Würfels, sondern auch Objekte der Dimension n-1,n-2, usw. Dann könnte man versuchen als Oberfläche das Volumen dieser n-1 dimensionale Objekte zu berechnen und addieren. Alternativ (was aber letztendlich zum selben führt) können wir auch einfach den Rand . Im bekannten 3-dimensionalen Fall ergibt der Rand eines (vollen) Würfels die Oberfläche. Im n-dimensionalen Fall erhalten als Rand die Vereinigung von:
wobei {a,b} von der ersten bis zur letzten Stelle dieses Produkts variiert. Damit erhalten wir insgesamt 2n "Flächen" (obige Menge besteht aus zwei Flächen), die die "Oberfläche" bilden. Im Falle n=3 ergibt sich außerdem, die uns bekannte Oberfläche. Den Oberflächeninhalt O definieren wird dann einfach als Summe der (n-1)-dimensionales Volumen dieser Flächen. Also:
Beachte links sind n Intervalle [a,b], rechts nur noch n-1, da wir wir unsere Seiten damit identifizieren. Im Falle n=3 erhalten wir wieder den bekannten Oberflächeninhalt 6*(b-a)^2 (Seitenlänge b-a).
Danke. Stimmt. Mal 2 habe ich vergessen. Danke!
Und zu deiner letzten Frage. Das ist kein Würfel, sondern ein Rechteck. Außerdem ist 4-2i keine Länge. Wenn die Seiten aber die Längen a,b,c,d,e hätten würde sich aus einer Verallgemeinerung obiger Formel:
2(bcde+acde+abde+abce+abcd)
ergeben.