Wie parametrisiert man Objekte in zylindrischen Koordinaten?

Es geht um folgende Aufgabe:

Das Integral am Ende zu berechnen ist kein Problem, ich scheitere eher am Anfang...

Im Internet hab ich folgende Parametrisierung gefunden:
$φ\left(r,\ ρ\right)\ =\ \left(r\ \cos\ ρ,\ r\ \sin\ ρ,\ r\ \cdot\ \frac{H}{R}\right)^T$ Das ist aber die falsche Achse. Kann ich einfach x und z also den ersten und letzten Teil des Vektors tauschen? Und ganz allgemein: Wie komm ich überhaupt auf diese Parameter?

Answer 1

[poseidon42]

Für die Verwendung von zylindrischen Koordinaten sollte eine Rotationssymmetrie um eine gegebene Achse existieren. Diese Achse verwendet man dann als z"-Achse in den Zylinderkoordinaten. Hier übernimmt die x-Achse die Rolle der Rotationsachse bezüglich des Körpers. Für die Definition des Polarwinkels verwende die rechte Handregel, wobei die Achse für den Winkel phi = 0 beliebig gewählt werden kann. Ich wähle den Winkel phi = 0 hier beliebig so, dass dieser auf der y-Achse im Bild liegt. Der kürzeste Abstand eines beliebigen Punktes zur Rotationsachse ist gegeben durch r. Somit lässt sich die Oberfläche wie folgt parametrieren:

x = z"

y = cos(phi)*R*z"/H

z = sin(phi)*R*z"/H

für z" in [0, H] und phi aus [0, 2pi).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Elektrotechnik (Energie, Automatisierung)