Wie löse ich diese lineare Gleichungssysteme?
Aufgabe 1) Für eine Schokoglasur werden zwei Schokoladen gemischt. Die eine Schokolade hat einen Kakaoanteil von 30%, die andere Schokolade hat einen Kakaoanteil von 80% Es wird 10 dag Glasur benötigt, die einen Kakaoanteil von 50% enthalten soll.
Wie viel von den jeweiligen Schokoladen wird für die gewünschte Glasur benötigt?
Aufgabe 2) Aus zwei Weinsorten (Zweigelt und Syrah), wird 80 Liter Cuvée hergestellt.
Der Literpreis des Zweigelt beträgt 8 €, jener der Sorte Syrah beträgt 14 €. Ein Liter des Cuvée Kostet 9,50 €.
Welche Mengen an Zweigelt und Syrah müssen für diesen Cuvée verwendet werden?
1 Antwort
Schokolade 1 hat einen Kakao-Massenanteil w₁=30%, Schokolade 2 einen von w₂=80%. Wieviel von beiden braucht man, um m=10 dag einer Schokolade mit w=50% Kakaoanteil herzustellen? Wir nennen die gesuchten Massen m₁ und m₂, dann gilt m₁+m₂=m, und außerdem m₁w₁+m₂w₂=mw. Das ist ein lineares Gleichungssystem, und wir setzen m₁=m−m₂ aus der ersten in die zweite Gleichung ein:
(m−m₂)w₁ + m₂w₂ = mw₁ − m₂w₁ + m₂w₂ = mw
m₂ = m(w−w₁)/(w₂−w₁) = 4 dag
m₁ = m− m₂ = 6 dag
In der Praxis verwendet man oft die Kreuzmischregel, die sofort das Mischungsverhältnis ergibt: Man bildet dazu die Differenzen zwischen den Massenanteilen der Konponenten mit denen der Mischung und rechnet „übers Kreuz“: Die erste Schokolade hat 30% und die Mischung hat 50%, also nimmt man 50−30=20 Teile der zweiten Schokalade, und umgekehrt 80−50=30 Teile der ersten Schokolade. Man kommt also sofort auf ein Mischungesverhältnis 2:3, und skaliert das dann auf die gewünschten 10 dag hoch.
Das zweite Beispiel kann man ebenso rechnen, ich mache es etwas flotter: Wir haben die bekannten Preise p₁ und p₂ und die noch unbekannten Mischungsverhältnisse φ₁ und φ₂=1−φ₁, also gilt
φ₁p₁ + φ₂p₂ = φ₁p₁ + (1−φ₁)p₂ = φ₁p₁ + p₂ − φ₁p₂ = p
φ₁ = (p−p₂)/(p₁−p₂) = ¾
φ₂ = 1−φ₁ = ¼
Man mischt sie also im Verhältnis 3:1 zusammen, wenn der Preis wirklich fair nur aus den Komponenten ohne Aufschlag berechnet wird.
Als Österreicher habe ich damit kein Problem: 1 dag = 10 g
da ist sie wieder : die Einheit dag
die man nicht mal bei Wikipedia unter Bedeutungen von dag findet