Wie löse ich die Aufgabe 591222 von der Mathematik Olympiade?
Ich habe heute an der Regionalrunde der Mathematik-Olympiade für die Q1 und Q2 teilgenommen. Ich kam mit allen Aufgaben außer 591222 ganz gut zurecht.
Die Aufgabe lautet:
Man untersuche, für welche natürlichen Zahlen n >=3 die folgende Aussage gilt: Wenn ein regelmäßiges n-Eck mit dem Umkreismittelpunkt Z von einer Geraden g in zwei flächengleiche Polygone zerlegt wird, so liegt Z auf g.
Ich habe versucht mit Symmetrie zu argumentieren.
Wie habt ihr die Aufgabe gelöst und was hattet ihr für Ansätze?
Vielen Dank für eure Antworten!
1 Antwort
Dann ist n gerade.
Für n ungerade nimm n = 3. Du kannst ein Dreieck so durchschneiden, dass der Schnitt nicht durch den Mittelpunkt geht. Ein Dreieck auf eine Kante gestellt, Spitze nach oben. Um die obere Flächenhälfte zu bekommen, musst du Wurzel(0,5)*h von oben nehmen. Der Mittelpunkt ist aber bei 2/3 der Höhe von oben gesehen.
Bei einem Quadrat geht das nicht, um zwei gleich große Polygone zu bekommen, die nicht durch den Mittelpunkt laufen.
Für n = 5 stelle das 5-Eck auch ein Kante. Wenn du jetzt waagerecht durch den Mittelpunkt durchschneidest, müsstest du, wenn meine Idee stimmt, unterschiedlich große Polygone bekommen. Das ist zu zeigen.
Das sind bisher nur Gedanken, die mit 'Leben' zu füllen sind.