Wie kommen diese Eigenvektoren zustande?
Gegeben ist eine Matrix und ich brauche dazu die Eigenvektoren.
EW sind 4, 4, -2
Der EV zum EW -2 ist kein Problem.
Wie kommt man aber in der Lösung auf die EV zum EW 4???
Ich komme nämlich auf L((1,0,2),(1,2,0))...
Aufgabe a) zeigt ein Anfangswertproblem nach 0 umgestellt. Also stammt v1=(1,1,1) daher. Nun entsteht aus dem Kreuzprodukt von v1 & v3 der Vektor v2.Aber zum Verständnis: Wieso darf ich nicht die EV nehmen, die ich aus dem LGS der Musterlösung berechnet habe? Sind die nicht orthogonal??
3 Antworten
Eigenvektoren zum Eigenwert sind alle ev!=0 mit
A*ev = λ*ev
Die Lösungsmenge zu λ=4 hat die Form
-4x + 2y + 2z = 0
wobei aufgrund des Rangs zwei Dimensionen frei wählbar sind (z.B. y und z)
4x = 2y + 2z
x = (y+z)/2
Es gibt also zu λ=4 unendlich viele Eigenvektoren in der Form
ev(y,z) = ( (y+z)/2, y, z ) = y * (0.5, 1, 0) + z * (0.5, 0, 1)
Die Vektoren ev(1,1) = (1,1,1) und ev(-1,1) = (0,-1,1) sind Teil dieser Menge und orthogonal.
Aus dem LGS der Musterlösung zu (c) kann man die Eigenvektoren direkt "ablesen". Man hat zwei Freiheitsgrade und wählt Komponenten 1 und 2, die dritte ergibt sich. In der Musterlösung werden 2 orthogonale Vektoren bestimmt. Deine Vektoren L((1,0,2),(1,2,0)) sind das nicht, denn 1*1 + 0*2 + 2*0 = 1. Du hast diese wohl auch abgelesen, aber die Orthogonalität nicht beachtet.
Ja genaue bei der Transformation auf die euklidische Normalform müssen die Eigenvektoren orthogonal (sogar orthonormiert) sein. Das sind deine zwei nicht. In der Aufgabe wurde auch anders vorgegangen als bei dir. Wir kennen v1 schon und dann wählen wir direkt v2, so dass er senkrecht auf v1 steht. Das Kreuzprodukt braucht man nicht, da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix immer orthogonal sind.