Wie komme ich bei dieser Reaktionsgleichung auf die Ladungen?

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Schau dir ihre Position im PSE an. Ba steht an zweiter Stelle, gibt also zwei e- ab, um Edelmetallzustand zu erreichen. Somit hat Ba 2+ und die Differenz zur 0 geht an die andere Seite des Moleküls, also hier 2- (die zwei überschüssigen Elektronen, die Ba in der Reaktion liefer soll)

Ein guter Hinweis für Ba2+ bietet das Periodensystem.
Damit ein Barium Atom seine geliebte Oktett-Regel erfüllen kann, muss es 2 Elektronen abgeben (Es steht ja auch in der zweiten Gruppe)

Bei SO4- solltest du anders vorgehen und dir überlegen von welcher Säure es sich ableitet. (H2SO4 = Schwefelsäure)
Du siehst also das Schwefelsäure, wenn es beide Protonen abgiebt zu SO4-2 wird.

Ähnlich HNO3 ---> NO3 - usw.