Wie kann man am besten schnell koreanisch lernen ohne oder nur wenig geld auszugeben?

Eine Sprache selber erlernen zu wollen, kann sehr schwer werden.
Auch ist da nichts mit "schnell" oder "einfach" - wenn man es ernst meint, nimmt man sich die nötige Zeit und versucht es nicht auf biegen und brechen alles schnell hinter sich zu bringen.
Bis du die Sprache annähernd sprechen und verstehen könntest, sodass du dich, holprig, in Korea verständigen kannst, vergehen Jahre.

Ein Selbststudium ist nicht die beste Idee, auch wenn es am Anfang toll klingt, da...

...die nötige Motivation zusammengekratzt werden muss (und glaube mir - am Anfang macht dir das alles Spaß, irgendwann willst du mal lieber das und das machen - dann sind 3 Monate vergangen und du bist mit der Sprache noch kein Stück weiter).

...du nicht darauf hingewiesen wirst, wenn du Fehler machst. Lehrer können dich darauf hinweisen und verbessern - du alleine dich selber schwerer.

Noch dazu muss man mit den Büchern aufpassen - in vielen lernst du das Falsche. Deswegen würde ich dir u.a. kein deutsches Buch empfehlen.
Deshalb ist die beste Methode, wenn man eine Sprache erlernen möchte, ein Kurs. 
Wie in der Schule mit Englisch, Spanisch und was nicht alles. 
Die Regelmäßigkeit, die Tests und Arbeiten, der Lehrer und das Wissen "ich muss dahin" sind nicht vergleichbar mit einem Selbststudium.

Aber, ich schlage dir vor, schonmal das Alphabet zu erlernen, sodass du Koreanisch lesen - nicht übersetzen - aber lesen kannst. 
Das ist sehr wichtig für den weiteren Verlauf, egal wie (ob Kurs oder Selbststudium).

Und das Alphabet kannst du ganz easy über das Internet/über eine App lernen. Sind nur die 14 Konsonanten und die 10 Vokale. Mehr nicht. Das ist relativ schnell gelernt und bedarf auch keinen Lehrer, da man da eigentlich nichts falsch machen kann. 
Siehe hier zum Beispiel unter "Form":
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Koreanisches_Alphabet

Danach nicht reines Vokabeln lernen - das bringt dich überhaupt nicht weiter. 
Toll, du könntest dann bsp. "Milch" übersetzen (= 우유), aber einen Satz kannst du von alleine nicht aufbauen. 
Deswegen beschäftigst du dich dann am Besten damit, wie ein Satz im koreanischen aufgebaut ist. 
Damit das nicht falsch rüberkommt: Vokabeln musst du so oder so lernen, nur halt kein reines Vokabeln lernen. Damit würdest du Sätze falsch aufbauen.

Beispiel: 
"Ich möchte Milch trinken!"

1) Reines Vokabeln lernen:
"저는 싶어요 우유 마시다!"
(Ich - möchte - Milch - trinken)
= falsch

2) Vokabeln + Satzbau lernen:
"우유 마시고 싶어요!"
(Milch - trinken - möchte ich)
= richtig

Übersetzung:
우유 = Milch
마시다 = trinken (Grundform)
-고 싶어요 = Ich möchte/will
저는 (in dem Fall) = Ich

Du wirst merken, wenn du das Alphabet lernst, das du alles erstmal sehr stockend lesen wirst - aber Übung macht bekanntlich den Meister. Gut zum Üben eignen sich dafür Instagram und Twitter - die Idols posten ja fast nur in Koreanisch. Das kommt uns zu gute.

Für die Aussprache hörst/schaust du dir am Besten Shows, Lieder etc. pp. an. 
Die Aussprache der Wörter werden sich in dein Gehirn brennen und du wirst es sozusagen nachahmen.

Und, falls du an Büchern interessiert bist: Ich würde dir zwei englische Bücher empfehlen. Dafür sollte man nur zwangsläufig mind. ein wenig Englisch können (die deutschen Wörter könnte man ja ergoogeln und im Buch daneben schreiben).

1) Als Einsteiger empfehle ich das kleine Buch: "Yes, you can learn korean language structure in 40 minutes" (by Tongku Lee) 
ISBN: 978-1-56591-300-4
Es bezieht sich auf das Alphabet (Vokale und Konsonanten), wie man sie "kombiniert" (bsp. 그 , 도 usw.), paar Vokabeln sind dabei, paar Aufgaben, wie man Vokale und Konsonanten schreibt (von welcher Richtung aus) und auch ein wenig WIE die Sätze aufgebaut sind. 
Das Buch ist wie gesagt auf Englisch.

2) Als zweites Buch empfehle ich "Korean Grammar in Use - Beginning" (Darakwon)
ISBN: 978-89-5995-198-7
Von dem Buch gibt es ein ganzes Set, 
ISBN dazu: 978-89-277-3118-4
Es geht (wie das Buch schon "sagt") um die Grammatik und wie es geschrieben wird. 
Beispiel: Koreanische Sätze bestehen entweder aus "einem Subjekt + Prädikat (Verb)" oder "einem Subjekt + Objekt + Prädikat (Verb)" [= S-O-V].

Das Buch ist sehr dick, schreibt viel auf Koreanisch (und ist auch auf Englisch) und enthält viele Aufgaben, in denen man sein Wissen testen kann. 
Außerdem enthält es eine CD.

Und streich dir bitte wirklich dieses "schnell" aus dem Kopf. Du müsstest ein Sprachengenie sein, um es tatsächlich schnell zu erlernen (sowas soll es ja geben - sehr beneidenswert, wie ich finde). 
Lerne in einem guten Tempo und mach dir selbst keinen Stress.

P.S.: Eine App, die aber mehr für reines Vokabel lernen da ist, die ich aber tatsächlich ganz gut finde, ist Drops.

Viel Erfolg beim Lernen! 🇰🇷