Wie kann der Körper Q[3] zwei Körperautomorphismen haben?
Hier steht er habe zwei, aber wie? Körperautomorphismus heißt doch Selbstabbildung? Ich kann doch nur einmal auf mich selbst abbilden?
2 Antworten
Naja, bei einem Körperautomorphismus von einem Körper wieder in den gleichen Körper abgebildet. Das bedeutet, dass bei der Abbildung die Definitionsmenge gleich der Zielmenge ist.
Selbstabbildung also in dem Sinne, dass
mit D = Z ist. NICHT in dem Sinne, dass man f(x) = x für alle x ∈ ℚ[√(3)] fordert.
Es bedeutet also nicht unbedingt, dass jedes Element wieder auf sich selbst abgebildet werden muss, falls du das gedacht haben solltest. Das wäre dann ja nur die Identität. (Dann bräuchte man den Begriff „Körperautomorphismus“ ja gar nicht, sondern würde einfach nur von der Identität sprechen.)
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Zum Auffinden des zweiten Automorphismus... Du kennst bestimmt die komplexen Zahlen ℂ. Wusstest du, dass man ℂ auch als ℝ[i] darstellen kann, und dass die komplexe Konjugation ein Körperautomorphismus ist? Wenn nicht, habe ich dich hiermit darauf hingewiesen. Wie könnte nun eine vergleichbare Abbildung für ℚ[√(3)] statt für ℝ[i] aussehen?
ich dachte bis jetzt, man müsse immer auf die gleiche Menge abbilden.
Tut man doch. Für jedes Element a + b√(3) ∈ ℚ[√(3)] (mit a, b ∈ ℚ) ist auch a - b√(3) ∈ ℚ[√(3)]. Denn man kann a - b√(3) auch als a + (-b)√(3) schreiben, also als a' + b'√(3) mit a' = a ∈ ℚ und b' = -b ∈ ℚ.
Okay das sind nur zahlen? Aber ich suche doch Körperautomorphismen von Q[sqrt(3)], das ist doch einmal Q[sqrt(3)]-->Q[sqrt(3)] und Q[qrt(3)] ist doch dacht eich a+bsqrt(3)? Oder worauf bildet dann z. B. Q[sqrt(3)] ab? Also was ist der zweite Körperautomorpihsmus dachte, dass er a-bsqrt(3) sei?
@mihisu
Nein, das wäre dann kein Automorphismus, da dann die Definitionsmenge (ℚ) nicht gleich der Zielmenge (ℝ) ist.
Okay danke, aber inwiefern sehen dann die Abbildungen von Q[sqrt(3)] aus?
Ich habe doch die Abbildung Q[sqrt(3)]-->Q[sqrt(3)], dafür gibt a+bsqrt(3) und a-bsqrt(3), meint man das?
und Q[qrt(3)] ist doch dacht eich a+bsqrt(3)?
Nein! ℚ[√(3)] ist nicht gleich a + b√(3). Das ist offensichtlich falsch.
Was du wahrscheinlich meinst, ist:
ℚ[√(3)] = {a + b√(3) | a, b ∈ ℚ}
Und, wie bereits erwähnt, ist zu jeder rationalen Zahl b auch -b eine rationale Zahl, weshalb dann auch jeweils a + (-b)√(3), also a - b√(3), enthalten ist.
Vielleicht wird es mit einem Beispiel mit konkreten Zahlen klarer...
Es ist 2 + 5√(3) ∈ ℚ[√(3)]. Aber genauso ist auch 2 - 5√(3) ∈ ℚ[√(3)], da man das als a + b√(3) mit a = 2 ∈ ℚ und b = -5 ∈ ℚ schreiben kann.
Das verstehe ich, aber könntest Du mir die Körperautomorphismen dann nennen? Ich dachte Automorphismus ist definiert, dass ich von einer Menge auf eine andere abbilde.
Warum sind dann die Körperautomorphismen a+bsqrt(3) und a-bsqrt(3), das sind ja keine Mengen, wie Du erwähnt hast?
Und ist jedes Element von a+bsqrt(3) auch in a-bsqrt(3) enthalten?
Okay danke, aber inwiefern sehen dann die Abbildungen von Q[sqrt(3)] aus?
Ich habe doch die Abbildung Q[sqrt(3)]-->Q[sqrt(3)], dafür gibt a+bsqrt(3) und a-bsqrt(3), meint man das?
Ich weiß leider nicht genau, ob du das richtige meinst. Es siehst aber aus, als würde es dir (hoffentlich) ein wenig klarer werden.
Es gibt die folgenden zwei Körperautomorphismen von ℚ[√(3)]...
f: ℚ[√(3)] → ℚ[√(3)] mit f(a + b√(3)) = a + b√(3) für alle a, b ∈ ℚ
g: ℚ[√(3)] → ℚ[√(3)] mit g(a + b√(3)) = a - b√(3) für alle a, b ∈ ℚ
Dabei ist f die Identität auf ℚ[√(3)]. Und g ist der zweite Automorphismus, der in der Aufgabe gesucht ist.
Nö, warum sollte ich f(a, b) schreiben?
Ich muss doch in die Abbildung f ein Element von ℚ[√(3)] einsetzen. Und die Elemente von ℚ[√(3)] kann man in der Form a + b√(3) darstellen. Dementsprechend kann ich doch a + b√(3) als Element von ℚ[√(3)] ohne Probleme in f einsetzen.
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Je nachdem, wie ihr das eingeführt habt, könnte es natürlich auch sein, dass ihr ℚ[√(3)] als ℚ² versehen mit ((a, b), (c, d)) ↦ (a + c, b + d) als Addition und mit ((a, b), (c, d)) ↦ (ac + 3bd, ad + bc) als Multiplikation kennengelernt habt. Das wäre aber komisch, wenn du da jetzt bei dieser Darstellung hängengeblieben wärst, anstatt dass ihr dann (1, 0) mit 1 und (0, 1) mit √(3) identifiziert hättet und dann im Weiteren mit a + b√(3) statt mit (a, b) vorangegangen wärt. Vor allem, da du ja selbst davor die ganze Zeit von „a + b√(3)“ schreibst.
Ich rate mal, a + b Wurzel(3) wird auf a - b Wurzel(3) abgebildet.
Das ist mir bewusst, aber was ich nicht verstehe, warum gilt das als Körperautomorphismus?
Wenn du das nicht verstehst, dann empfiehlt es sich, die Definition des Körperautomorphismus nachzurechnen.
Danke, also ich hätte erwähnen sollen, dass ich weiß, dass: a-bi und a-bsqrt(3) die konjungierten Mengen sind, aebr was ich nicht kapiere, warumd as als Automorphismus galt, ich dachte bis jetzt, man müsse immer auf die gleiche Menge abbilden.
Was mir jedoch fremd ist, ist die Schreibweise R[i], ich wusste Q[sqrt(3)]=a+bsqrt(3), aber warum ist das auch bei R[i] so, dass dass dann a+bi ist und somit den komplexen Zahlen entspricht, was ist das für eineNotation?