Wie groß sind die Lagrange-Punkte?
Wie groß sind die Regionen der Lagrange-Punkte in der sich ein Körper halten könnte? Könnten sich theoretisch sogar mehrere Satelliten an einem L aufhalten oder ist das Volumen des Raums der aufgehobenen Kräfte so klein, dass nur ein Körper darin annähernd stabil bleiben könnte? Wenn sich damit jemand auskennt, würde ich mich über eine Antwort freuen.
6 Antworten
Ich bin da kein Spezialist, aber nach meinem Verständnis können sie nur punktförmig sein, also ohne Volumenausdehnung.
An einem L-Punkt werden ja exakt alle Gravitationskräfte voneinander aufgehoben. Diese Kräfte variieren aber mit dem Abstand zur Masse. Also wenn man nur minimal vom L-Punkt in irgendeine Richtung abweicht, wird das ein Ungleichgewicht der Kräfte verusachen.
Das hängt sicherlich vom konkreten Fall ab, in wiefern, bzw. in welchem Zeitraum das spürbar wäre, aber in der Theorie wird das so sein.
Denkbar wäre natürlich, dass man mit der Masse eines oder mehrerer Satelliten auf engem Raum zusätzliche L-Punkte erzeugt, da auch deren Masse die aneren beeinflussen. Aber auch das wird nur in einem sehr speziellen Fall funktionieren.
Im Prinzip müsste ein Körper mit seinem Massezentrum direkt auf dem L-Punkt liegen. Der rest seines Volumens kann dann "überragen".
"das Volumen des Raums der aufgehobenen Kräfte" existiert nur in Deiner Fantasie.
Hier handelt es sich nicht um Räume, sondern um Punkte im geometrischen Sinne, und solche Punkte haben keine Ausdehnung. Zu einem Lagrange-Punkt hat deshalb der Schwerpunkt eines realen Körpers immer eine Entfernung, so ähnlich wie das Schwerpunktlot eines jonglierten Stabes immer etwas vom Auflagepunkt des Jonglierstabes entfernt ist. Deshalb kommt der Stab ohne steuernde Aktivität des Jongleurs auch nicht stehnd zur Ruhe. In ähnlicher Weise müsste ein Körper am Lagrangepunkt ständig jongliert werden mit einem Raketenantrieb.
Roderic hat es bereits richtig gesagt: Die Lagrangepunkte 1 bis 3 (die auf der Achse Sonne–Erde) sind instabil haben daher die Größe exakt Null. Deshalb kann man keinen Satelliten dort parken, weil der ja zwangsweise einen Durchmesser >0 haben muß. Wenn man es trotzdem tun will, dann muß der Satellit sich ständig unter Treibstoffverbrauch zum L-Punkt zurücksteuern.
Die beiden Lagrangepunkte, die auf der Erdumlaufbahn liegen, können dagegen stabil sein. Ob sie es wirklich sind, hängt von den Massen und Bahndaten aller Planeten ab zusammen ab, und das begrenzt auch ihre Größe. Die größten Lagrange-Volumina hat man bei schweren Planeten weit weg von der Sonne (deshalb hat Jupiter auch zwei riesige Schwärme von Trojaner-Asteroiden im L₄ und L₅, die sich in einem Winkel von zweimal ca. 25° bezüglich der Sonne erstrecken). Die L₄- und L₅-Volumina der Erde müssen vergleichsweise winzig sein, weil man bisher nur einen einzigen Trojaner gefunden, und der ist nur ein paar hundert Meter groß).
L1 L2 und L3 sind instabil. Schon eine geringe Abweichung vom eigentlichen Punkt führt zu einer Kraft, die diese Abweichung weiter vergrößert. Es ist also immer zwingend eine aktive Positionsregelung erforderlich. Der Kraftaufwand ist umso geringer, je näher sich das Objekt an dem Punkt aufhält.
Um L4 und L5 existieren stabile (nierenförmige) Umlaufbahnen.
Wie groß dieser stabile Bereich ist, hängt vom Massenverhältnis der beiden Hauptkörper ab. ist das Massenverhältnis kleiner als 24.96 : 1, dann schrumpft dieser Bereich auf Null. Dann sind auch diese L-Punkte instabil.
Punkt ist Punkt --- Punkt!