Wie findet man heraus, was für alle x E R gilt?
Hallo, Ich verstehe nicht, wie man herausfinden soll, was für x E R in einer Funktion gilt. Habe das nur ausgefüllt, weil ich es gegoogelt habe, aber habe da keine gute Antwort gefunden. Wäre lieb, wenn mir das jemand erklären könnte.
2 Antworten
Wie findet man heraus, was für alle x E R gilt?
Das sollst Du gar nicht wirklich herausfinden. Das ist eine Folgerung (beachte das Wort "somit", das eine Schlussfolgerung einleitet) aus dem offensichtlichen Anschein der Graphen. Du liest aus dem Graphen ab, dass er z.B, achsensymmetrisch ist. Dann ist das hier eine unmittelbare Folgerung der Ablesung, was natürlich komplett unmathematisch und daher ist Deine Frage völlig berechtigt.
Üblicherweise testet man die Symmetrieeigenschaft einer Funktion, indem man sich f(-x) ansieht. Drei Möglichkeiten gibt es dann:
- f(-x) = f(x) und dann ist die Funktion achsensymmetrisch (zur y-Achse) und was auch "gerade" genannt wird.
- f(-x) = -f(x) und dann ist die Funktion punktsymmetrisch (zum Ursprung) und was auch "ungerade" genannt wird.
- f(-x) ist weder f(x) noch -f(x), dann hat die Funktion keine Symmetrie
Nun zu Deinen Sinus und Kosinus Funktionen: Es gelten (und das kann man sich am Einheitskreis oder an den Graphen klarmachen) die Beziehungen
Und diese Eigenschaften der beiden Funktion sind dann genau die Bedingungen für die Aussagen über die Symmetrie.
Rein rechnerisch kommst Du da eigentlich nicht drauf (zumindest im klassischen Schulunterricht nicht), denn dazu müsstest Du z.B. eine Reihendarstellung der beiden Funktionen im Unterricht eingeführt haben, wie etwa
und daran erkennst Du, dass im Sinus nur ungerade Exponenten (Punktsymmetrie) von x vorkommen und im Kosinus nur gerade Exponenten (Achsensymmetrie).
Aber das führt jetzt eigentlich auch zu weit.
Es gilt genau das, was du hingeschrieben hast. Die Gleichungen stimmen für beliebige Werte für x aus IR.
Herausfinden kann man das, indem man sich z.b. die Graphen anschaut. Z.b. den Graphen, der achsensymmetrisch ist. Die Punkte sind an der y-Achse gespiegelt, darum ist cos(-x)=cos(x)
Beweisen kann man sich das mithilfe des Einheitskreises.