Wie findet man heraus, gegen was es konvergiert?

Hallo!

Ich bin zurzeit sehr interessiert an Reihen in der Mathematik.

Z.b. die Geometrische Reihe wie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2

Bei der weiß ich, dass ich den Grenzwert mit 1/(1-x) bestimmen kann.

x ist in diesem Fall 1/2.

Aber wie finde ich andere Grenzwerte heraus wie:

1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... = Pi²/6

Das ist die Zeta Funktion. Wie könnte ich zum Beispiel bei ihr den Grenzwert herausfinden?

Oder bei unendlichen Brüchen oder Unendlichen Wurzeln?

Wie z.b. 1+2/(1+3/(1+5/(1+7/(1+11/(1+19/(... = ?

Comments

[eterneladam]

1+2/(1+3/(1+5/(1+7/(1+11/(1+19/(... = ? Was steckt hinter 2, 3, .... Primzahlen? Dann würde was fehlen...

[NeilderMensch]

Ja. Ich habe es auch gemerkt. Danke!

Answer 1

[eterneladam]

Bei der zweiten Reihe (genauer Kettenbruch), wobei die Folge der Primzahlen zu Hilfe genommen wird,

1+2/(1+3/(1+5/(1+7/(1+11/(1+13/(..... = 1.4323320871859......,

dürfte es äusserst schwierig sein, eine explizite Lösung zu finden, da schon die Primzahlen selbst sehr unregelmässig auftreten.

Comments

[NeilderMensch]

Das stimmt.

Danke! Primzahlen interessieren mich aber sehr!

Answer 2

[RitterToby08]

Das ist für allgemeine Reihe nicht zu beantworten. Im Fall von

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ hat zuerst Euler gezeigt, dass:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ Verschiedene Beweise findest du in "Basler Problem" . Unter anderem den Beweis von Euler.