Wie berechnet man die Koordinaten der Schnittpunkte?
Kann mir vielleicht jemand die Aufgabe ausrechnen und erklären wie es geht damit ich es verstehe.Dankeschön
4 Antworten
Zunächst mal sollte man folgende Grundlage verstanden haben, denn dann ist die Aufgabe leicht zu lösen:
a) Mögliche Darstelungsformen von Parabeln
Die Funktionsgleichung zu Parabeln lässt sich grundsätzlich in drei verschiedenen Darstellungsformen schreiben, die aber alle zum selben Ergebnis, also zum selben Graphen führen.
Was vor dem Gleichheitszeichen steht, ist nicht eindeutig festgelegt. Üblich sind y = ..... oder f(x) = ….. Aber auch andere Bezeichnungen vor dem Gleichheitszeichen sind möglich.
1) Die Normalform lautet:
f(x) = ax^2 + bx + c
In der Normalform sind alle Klammern ausmultipliziert und die x sind nach ihrer Hochzahl geordnet.
2) Die Scheitelpunktform beruht auf den Koordinaten des Scheitelpunktes. Wenn der Scheitelpunkt die Koordinaten S(d/e) hat, lautet die Scheitelpunktform:
f(x) = a(x - d)^2 + e
d ist die x-Koordinate und e ist die y-Koordinaten des Scheitelpunktes.
3) Die Nullstellenform beruht auf den x-Werten der Nullstellen der Funktion. Das sind die Stellen, bei denen der Graph die x-Achse schneidet. Die Nullstellenform hat eine Besonderheit. Während man jede Parabel in der Normalform oder Scheitelpunktform darstellen kann, ist das bei der Nullstellenform nur dann möglich, wenn die Parabel so liegt, dass sie die x-Achse auch tatsächlich schneidet. Das ist aber nicht immer der Fall.
Die Nullstellenform lautet:
f(x) = a(x - xo1) * (x - xo2)
xo1 und xo2 sind die beiden Nullstellen der Funktion, also die x-Werte, bei denen die Parabel die x-Achse schneidet.
b) Der Streckungsfaktor oder Leitkoeffizient a
Eine Parabel kann flach und breit (gestaucht) oder schmal und steil (gestreckt) sein. Das hängt vom sogenannten Streckungsfaktor a ab. Egal welche der drei Darstellungsformen man wählt, a hat immer denselbe Wert. Der Streckungsfaktor a bestimmt das Aussehen der Parabel:
a = 1: Das ist die nach oben geöffnete Normalparabel. Üblicherweise lässt man a = 1 in den Gleichungen ganz weg.
a ist positiv: die Parabel ist nach oben geöffnet
a ist negativ: die Parabel ist nach unten geöffnet
Betrag von a ist kleiner als 1: die Parabel ist flacher als die Normalparabel
Betrag von a ist größer als 1: die Parabel ist schmaler als die Normalparabel
So, und nun lösen wir deine Aufgaben:
Parabel p1:
Wir kennen die beiden Nullpunkte und wir kennen den Streckungsfaktor a = 1, weil es sich um eine Normalparabel handelt:
Ansatz ist daher die Nullstellenform:
f(x) = a(x - xo1) * (x - xo2)
a = 1
xo1 = -3
xo2 = +3
f(x) = (x + 3) (x - 3)
3. binomische Formel
f(x) = x^2 - 9
Parabel p2:
Hier ist der Scheitelpunkt gegeben sowie ein Punkt ablesbar.
Allgemeiner Ansatz für die Scheitelpunktform:
f(x) = a(x - d)^2 + e
S(0/3,5), also d = 0, e = 3,5
und damit:
f(x) = ax^2 + 3,5
Jetzt fehlt uns noch a. Das kriegen wir raus, indem wir einen beliebigen Punkt einsetzen. Aus dem Graphen entnehme ich den Punkt P(1/4) undsetze ein:
4 = a + 3,5
a = 0,5
und damit:
f(x) = 0,5x^2 + 3,5
Das ganze überprüfe ich, indem ich die Ergebnisse in einen Formelplotter eingebe:
...und siehe da, das Ergebnis stimmt.
P1(x) = x²-9
P2(x) = ½ x²+7/2
Gleichsetzen, x bestimmen, in p1(x) einsetzen für die y-Koordinate
Eine Normalparabel hat immer den Aufbau g(x) = 1x² Wichtig ist hier die 1 vor dem x² (die man auch weglassen könnte). Achtung. Nur P1 ist eine Normalparabel.
Die Parabel P1 hat die Nullstellen -3 und +3. Hier kann man einfach die Funktion aufstellen in dem man g(x) = (x+3)*(x-3) rechnet. Das ausmultipliziert ergibt:
g(x) = x² - 9
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P2 schneidet bei ys = 3,5 die y-Achse. Die allgemeine Funktionsgleichung für eine symetrische Funktion ist : f(x) = a * x² + ys
Eingesetzt f(x) = a*x² + 3,5
Nun noch einen Punkt ablesen des Graphens, ich nehme hier Q(1|4). Diesen Einsetzen um a zu bestimmen.
Eingesetzt f(1) = 4 = a*1² + 3,5
Daraus folgt a=0,5
Die Funktionsgleichung heißt f(x) = 0,5*x² + 3,5
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Nun sollen die Schnittpunkte berechnet werden:
g(x) = f(x)
0,5x² + 3,5 = x² - 9 | +9 -0,5 x²
Diese Gleichung nach x auflösen und du hast die x-Stelle für den Schnittpunkt der beiden Funktionen.
12,5 = 0,5 x²
25 = x²
x1 = 5 und x2 = -5
Nun die y-Koordinate des Schnittpunktes errechnen:
g(+-5) = x² - 9 = 25-9 = 16
Die Schnittpunkte sind bei (5|16) und (-5|16)
das ist ein Koordinatensystem mit 2 Gleichungen.
gleichsetzen oder einsetzen ist das einfachste.