Wie berechne ich die Winkelbeschleunigung bei der Aufgabe (Bild)?
Wir sitzen seit einiger Zeit an der aufgabe und haben keine wirkliche Idee, wie man da rangehen kann. Hoffentlich kann man uns hier helfen.
Danke schon mal :)
7 Antworten
Mir kommt der Verdacht, dass das womöglich eine der beliebten Scherzfragen ist, für die Physiklehrer und Physikprofessoren anscheinend eine besondere Vorliebe haben. Hatte in meinen Mechanikklausuren auch bisweilen solche Aufgaben, die unheimlich kompliziert waren, aber weil irgendwie alles zu 0 wurde dann sogar im Kopf gerechnet werden konnte, wenn man es gemerkt hat.
Der Gag liegt in der Frage: "In welche Richtung bewegt sich das System?"
Durch die Art der Fragestellung wird ja schon impliziert, dass das Gewicht nach unten und die Scheibe nach oben beschleunigt wird.....wenn da nicht das Wörtchen "Wenn..." wäre. Aus dem "Wenn..." darf man nicht ungefragt schließen, dass es auch so ist, vor allem wenn dann auch noch die Frage kommt, in welche Richtung sich das System bewegt, was ja dann offensichtlich doch nicht so klar ist.
Widmen wir uns also erstmal der Bewegungsrichtung.
Der Aufhängungspunkt des festen Seilendes ist ganz zu Beginn der Bewegung der Drehpunkt, um den sich die Scheibe nach oben oder unten dreht.
Dann stelle ich mal in Bezug auf diesen Drehpunkt die Momentengleichung auf:
Der Schwerpunkt der Scheibe übt ein Drehmoment nach unten (rechts) aus:
Ms = - Fs * r/2 (Kräfte nach unten bezeichne ich mit - und nach oben mit +)
mit Fs = ms * g ergibt sich:
Ms = - r/2 * ms * g
Das Seil mit dem Gewicht übt ein entgegengesetztes Moment aus:
Mg = Fg * 3/2 r
mit Fg = mg * g
ergibt sich:
Mg = 3r/2 * mg * g
Das Gesamtmoment, das bei dieser Anordnung wirkt ist:
Mges = Ms + Mg = - r/2 * ms * g + 3r/2 * mg * g
Mges = r/2 * g * (- ms + 3 mg) = r/2 * g * (- 6 kg + 3 * 2 kg) = r/2 * g * 0 = 0
Ergebnis: Bezogen auf den festen Punkt, an dem das feste Ende des Seiles wirkt, ist das Gesamtmoment = 0 und das bedeutet, das System befindet sich im Gleichgewicht und bewegt sich weder nach oben noch nach unten.
Damit ist die Winkelbeschleunigung der Scheibe αs = 0
Antworte in einer neuen Antwort, weil ich nur da die Hilfsskizze einfügen kann.
Also hatte auch hin und her überlegt und auch das Kräftegleichgewicht versucht zu betrachten, aber da wäre die Seilkraft am festen Ende F1 zu schwierig auszurechnen gewesen. Daher bin ich zu einer Betrachtung der Momente übergegnagen, ich wollte ja eigentlich nur die Bewegungsrichtung wissen.
Für den Zeitpunkt t0 habe ich mir aber eine stark vereinfachende Hilfsskizze gemacht:
Die Scheibe denke ich mir im Schwerpunkt konzentriert. Auf sie wirkt Fs.
Der Drehpunkt ist fix, da sich ja an dem festen Ende des Seiles erstmal nichts rauf oder runter bewegt. Erst wenn die Scheibe tatsächlich drehen würde, würde sich der Punkt verschieben.
Aber der Hebel kann sich um den Drehpunkt bewegen. Die Gewichtskraft Fs zieht nach unten, die Seilkraft Fg nach oben.
Erst wenn der Hebel sich durch das Gesamtmoment anfangen würde zu drehen, müsste ich auch das Auf- und Abwickeln der Seile berücksichtigen. Das bleibt mir aber ja zum Glück erspart.
Nach dieser Betrachtung könnte man allerdings dann doch das Kräftegleichgewicht bestimmen:
Fges = 0 = - Fs + Fg + F1 woraus folgt: F1 = 4 kg * g
Okay ja, das macht sinn!
Damit habe ich auch aktuell keine weiteren Fragen 😊
Danke sehr
Die rechnung ist ziemlich aufwendig,aber im Prinzip geht das so:
1) Die Bewegungsrichtung feststellen
2) Die Gesamtenergie im System Esy=konstant
also E1=E2
3) für die potentielle Energie legt man ein Bezugseben fest.
Epot=0 für die Masse mg=2 kg
in Zustand 1: ist die Bewegungungsenergie Ekin=0
E1=Eg+Es=ms*hs
4) nun legt man eine 2.te Bezugsebene fest hier ist die Energie
E2=Summe kinetische Energie+Summe potentielle Energie
für die Scheibe Ekins=1/2*ms*v^2+1/2*J*w^2 mit w=v/r
für die Masse mg=2 kg Eking=1/2*mg*v^2
Wiel man im Zustand 2 eine Bezugsebene festgelegt hat und damit ein Höhe h um die die Masse mg=2 kg angehoben hat (oder nach unten gegangen ist)
ergibt sich für den Weg der Masse mg=2 kg
Sg=1/2*a*t^2 und mit V(t)=a*t ergibt sich t=v/a wir setzen t=1 s
Hinweis: Die Beschleunigung a/r=(phi)´´ =konstant (phi)´´=Winkelbeschleunigung in rad/s^2
2) Möglichkeit ist über ist über die Gleichgewichtsbedingungen der Statik
Die Summe aller Kräfte in jeder Richtung ist zu jeden zeitpunkt gleich NULL
Die Summe aller Momente ist zu jeden Zeitpunkt gleich NULL
1) Gleichung mit mg=2 kg Fs-Fsg+F=0
Fsg=mg*g=2 kg*9,81=19,62 N
Fs ist die Seilkraft an der Masse mg=2 kg
F=m*a ist die Trägheitskrft an der Masse mg=2 kg
2) an der Seilrolle das Selbe
Fs2+Fs-Fg=0
3) Drehmoment :Summe aller Drehmoment ist gleich NULL
MFs2-MFs+M=0
MFs2=Fs2*r/2
MFs=Fs*r
M=J*(phi)´´ Massenträgheitsmoment durch die Winkelbeschleunigung "(phi)´´"
Dies führt zu einen "linearen Gleichungssystem" (LGS)
Es müssen genau so viele Gleichungen,wie Unbekannte vorhanden sein,sonst ist das LGS nicht lösbar
wichtig die Beziehungen: (phi)´´=a/r und w=v/r (v=Umfangsgewschwindigkeit)
Das erste Verfahren ist in ein paar Zeilen erledigt. Ih würde das - im Gegensatz zu (2)- nicht als aufwändig bezeichnen, da ja schon fast alles fertig ist, wenn man die Gesamtenergie hinschreibt (h...Höhe des Gewichts, Ms...Masse Rolle, Mg...Masse Gewicht)
Wges = (d²h/dt²)² *(I/2r²+Mg/2+Ms/8)+h*g*(Mg-Ms/2)
Variante (2) ist jene für Masochisten - geht aber natürlich auch ;-)
Habe mir mal die Ansätze durchgelesen, die klingen ja nicht schlecht, aber ich fürchte, sie scheitern dann letztlich an Details. Wahrscheinlich ist ein deteil davon, dass das ganze System bei einem allgemeinen Ansatz ja in beschleunigter Bewegung ist und daher auch weder ein Kräfte- noch ein Momentengleichgewicht vorliegt.
Berechtigter Denkansatz - das statische Gleichgewicht besteht, wenn die Summe aller äußeren Kräfte und Drehmomente des ruhenden mechanischen Systems Null ist. Erst, wenn das im Vorfeld geklärt ist, kann die Dynamik diese mechanischen Systems analysiert werden. Im Fall eines Energieansatzes des bewegten Systems müsste m.E. sowohl die potentielle und kinetische Energie der sich vertikal bewegten Masse m(g) als auch die potentielle Energie, die kinetische Energie und die Rotationsenergie der Doppelrolle berücksichtigt werden.
Leider ist die korrekte kinematische Relation in meinen obigen Auführungen
h1 = -h2/3
und nicht h1 = -h2/2.
(das Rad hebt sich ja auch noch zusätzlich zur Rotation...)
Die Gleichung für die potentielle Energie ist somit zu korrigieren auf
Wpot = mg*g*h2 - ms*g*h2/3
Somit sieht man, dass ein statisches Gleichgewicht vorliegt, wenn
dWpot/dh2 = 0 --> mg = 1/3 * ms
Bei den Werten für ms=6kg und mg=2kg ist das aber genau der Fall. Daher liegt statisches Gleichgewicht vor, wie schon von Hamburger02 auf andere Art errechnet. Ohne ihn hätte ich meinen Fehler nicht erkannt. ;-)
Sorry ...die Gleichungen für die kinetische Energie ändern sich natürlich auch - bei den gegebenen Werten kommt aber sowieso Null heraus. Für den allgemeinen Fall mit a > 0 kann man es aber so machen wie ich sagte...
genau....und wie die Energien dann zwischen diesen Energieformen hin-und her wandern dürfte ziemlich kompliziert auszurechnen sein.
Sollte sich das System bewegen, kommt man wahrscheinlich mit der Berechnung der Kräfte und Beschleunigungen an der Seilrolle am schnellsten zum Ergebnis.
Das prinzig des Kräftegleichgewichts und des Momentengleichgewichts funktiomiert immer.
Allerdings darf man sich nicht den geringsten Fehler erlauben und die Rechnung geht mindestens über 1/2 DIN A4 Seite.
Hast du die Aufgabe gelöst,damit ich meine Rechnung mit deiner vergleichen kann?
Endformel mit Ergebis.
Das prinzig des Kräftegleichgewichts und des Momentengleichgewichts funktiomiert immer.
Aber nur bei statischen Systemen. Bei dynamischen funktioniert es nicht.
Allerdings darf man sich nicht den geringsten Fehler erlauben und die Rechnung geht mindestens über 1/2 DIN A4 Seite.
Ich habe nur ein "Ersatzschaltbild" und 2 Zeilen Rechnung der Momente benötigt.
Hast du die Aufgabe gelöst,damit ich meine Rechnung mit deiner vergleichen kann?
Nein, ich habe die Aufgabe gelöst, weil ich sie interessant fand.
Endformel mit Ergebis.
Siehe oben meine Antwort.
Wieso kompliziert? Man hat Lageenergien und Bewegungsenergien. Kompliziert ist das gar nicht - siehe meinen separaten Beitrag (wegen Bild+Formeln). Diese Rechnung ist in 4 Zeilen erledigt.
Der Unterschied liegt nur in der Trägheitskraft F=m*a diese wirkt "immer" entgegen der Bewegungsrichtung!
Bei der Drehbewegung M=J*(Phi)´´ J=Massenträgheitsmoment und (Phi)´´=Winkelbeschleunigung in rad/s^2
es gilt (Phi)´´=a/r und Umfangsgeschwindigkeit V=w*r (w=Winkelgeschwindigkeit)
1) Schritt: ein x-y-Koordinatensystem zeichen
2) Schritt: Die Bewegungsrichtung festlegen.
Dann gilt bei jeder Aufgabe
1) Die Summe aller Kräfte "F" ist zu jeden zeitpunkt "t" gleich Null
2) Die Summe aller Momente "M" ist zu jeden Zeitpunkt "t" gleich Null
Hinweis:Bei einen Gebäude hat man natürlich keine Trägheitskraft F=m*a.
Das Gebäude würde sich ja dann bewegen und das wäre schlecht.
Trägheitskraft..
Die Trägheitskraft ist nur eine Scheinkraft und wenn du mit Scheinkräften arbeitest, kommst du in Teufels Küche, wei l du entweder am Ende mehr Gleichungen als Bekannte hast oder durch hebt sich gegen hebt sich zu viel wegfällt. .
Außerdem lautet der Satz von dem Kräftegleichgewicht:
"Ein Körper, an dem Kräftegleichgewicht herrscht, bleibt in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig geradlinig mit konstanter Gescheindigkeit weiter".
Diesen Satz hebelst du mit der Einführung von Scheinkräften aus, denn dann herrscht auch an einem beschleunigten Körper Kräftegleichgewicht und das ist eben falsch.
Zur Berechnung kann man die Scheinkräfte aber ebenso einfließen lassen (d'Alembertches Prinzip). Natürlich kommt man leicht in Teufels Küche, aber es funktioniert, wenn man alles richtig macht.
Deshalb sind die Lagrange-Gleichungen 1. oder 2. Art hier zweckmäßiger - finde ich halt.
1) Wir haben hier die Masse mg=2 kg und diese liefert 1 Gleichung
2) Wir haben die Seilrolle und die liefert 2 Gleichungen.
2).1 Die Summe aller Kräfte in y-Richtung ist zu jeden Zeitpunkt gleich Null
Fs2+Fs1-Fsg-Fs=0 Fsg=6 kg*g und Fs=ms*as ist die Trägheitskraft,die immer entgegen der Bewegungsrichtung wirkt
2).2 ist die Summe aller Drehmomente um den Drehpunkt der Seilrolle
Aus der vorher festgelegten Bewegungsrichtung der Masse mg=2 kg hat man hier die Drehrichtung.
Geht die Seilrolle nach oben,so ergibt sich
MFs1-MFs2-M=0
M=J*(Phi)``=Fs1*r-Fs2*r/2
Auf jeden Fall ist diese System lösbar.
Hinweis:"Natürlich kann jeder selber entscheiden,wie er rechnet,hauptsache es ist richtig und führt zum richtigen Ergebnis".
Allerdings muß man "absolut Sattelfest" sein und man darf nicht den kleinsten Rechenfehler machen,was fast unmöglich ist.
Ich bin Maschinenbauingenieur (FH) und habe das schon oft gemacht.
Der Ansatz,den ich hier vorgeführt habe funktioniert bei jeder Aufgabe,falls sie lösbar ist.
Hier der allgemeine Fall:
Mit den freien Parametern
- h (Position der rechten Masse gegen eine beliebige Ruhelage) und
- v=dh/dt (Geschwindigkeit der rechten Masse)
ist die Gesamtenergie
wegen Energieerhaltung ist
Daraus
Kinematik:
Energien:
Bewegungsgleichung:
ich hoffe, es ist damit nicht alles verraten, da ja nur noch ein Schritt fehlt ;-)
Leider ist die kinematische Relation
h1 = -h2/3
und nicht h1 = -h2/2.
(das Rad hebt sich ja auch noch zusätzlich zur Rotation...)
Die Gleichung für die potentielle Energie ist somit zu korrigieren auf
Wpot = mg*g*h2 - ms*g*h2/3
Somit sieht man, dass ein statisches Gleichgewicht vorliegt, wenn
dWpot/dh2 = mg = 1/3 * ms
Bei den Werten für ms=6kg und mg=2kg ist das aber genau der Fall. Daher liegt statisches Gleichgewicht vor, wie schon von Hamburger02 auf andere Art errechnet. ;-)
Vorweg erst mal ein riesen Danke, die Beschreibung ist wirklich sehr nachvollziehbar.
Ich hätte dazu aber noch eine Frage... Wenn man den Gesamtdrehmoment ausrechnet, dann müsse man doch den Effekt von ms auf beide Seilenden betrachten oder?
Also:
Mges = Ms1 + Mg + Ms2 = - r/2 * ms * g + 3r/2 * mg * g + ms * g * r
Das Gewicht von ms hängt doch sozusagen an beiden Seilenden.
Oder unterläuft mir da ein Denkfehler?