Wenn ich einen Behälter mit 2,7 L einer Flüssigkeit habe, davon immer 500 entferne und 500 ml einer Anderen hinzufüge, wie oft dauert es bis ausgetauscht?
Wenn ich immer wieder 500 entferne dann entferne ich auch die Andere Flüssigkeit. Nach wie oft oder wie vielen Litern hinzuschütten ist die ursprüngiche Flüssigkeit komplett verschwunden?
5 Antworten
Wenn Du von 2700 ml Flüssigkeit 500 ml entfernst und dann ebensoviel einer anderen Flüssigkeit zugießt, dann sind noch 2200 ml der ursprünglichen Flüssigkeit vorhanden, d.h., sie wurde um den Faktor 2200⁄2700 = 81% verdünnt.
Beim Wiederholen der Prozedur sinkt die Konzentration wieder um denselben Faktor, und die Konzentration beträgt dann (81%)²=66%. Oder allgemein: Das n-te Verdünnen liefert die Konzentration (22⁄27)ⁿ. Als Beispiel: Nach 20 Verdünnungen beträgt die Konzentration nur noch 1.6%, nach 23 0.9% und nach 34 Schritten sinkt sie unter 1‰.
Andere Zahlenwerte: Man braucht 68 Verdünnungsschritte, um den Gehalt an Substanz auf unter ein Millionstel zu drücken, und 102 für unter ein ein Milliardstel. Das ist so ungefähr die Grenze, daß man mit modernen Analysenverfahren die Substanz noch nachweisen könnte (manche Stoffe lassen sich aber empfindlicher detektieren als andere).
Daraus könnte man schließen, daß auch nach beliebig vielen Verdünnungsschritten immer noch irgendeine Menge der ursprünglichen Substanz vorhanden ist; der Ausdruck (22⁄27)ⁿ nähert sich zwar Null an, wird aber niemals exakt Null. Aber dieses Argument ist falsch, weil es ignoriert, daß Materie ja aus Molekülen besteht, und irgendwann wir auch mal das letzte Molekül der ursprünglichen Substanz verschwinden. Es gibt ja keine halben Moleküle.
Wir können auch grob ausrechnen, wann das der Fall ist; dazu müssen wir wissen, wieviele Moleküle Substanz in den 2.7 Litern enthalten waren, aber das hängt von der Art der Moleküle ab. Wenn es Wasser wäre, dann sind es 9⋅10²⁵ Moleküle, bei Alkohol nur 3⋅10²⁵ Stück, und bei Benzin 1⋅10²⁵. Du siehst, daß sich das nicht allzusehr unterscheidet, also können wir mit ≈3⋅10²⁵ Teilchen rechnen.
Um rechnerisch die eine Anzahl von Teilchen kleiner ½ zu erwarten, also de facto gar keines, brauchen wir dann 290 Verdünnungsschritte. Das ist vermutlich weniger, als Du erwartet hast, aber Exponentialfunktionen sind für die menschliche Einschätzung immer wieder teuflisch.
In der Praxis mußt Du aber mit Varianz rechnen; die letzten Verdünnungsschritte sind ja keine sauberen Verdünnungen mehr, sondern es ist weitgehend Zufall, ob in Deinen weggenommenen 500 ml ein, zwei oder drei Teilchen erwischt. Daher kann die 100%ige Entfernung des letzten Moleküls der ursprünglichen Flüssigkeit auch schon ein paar Schritte vorher passieren, oder es braucht vielleicht noch ein paar Schritte mehr. Mit 300 Verdünnungsschritten bist Du aber schon auf der ziemlich sicheren Seite.
Es wird nie komplett verschwinden.
Es findet niemals ein vollständiger Austausch statt, weil im Gemisch immer etwas von der Originalflüssigkeit drin ist - und sei es noch so wenig.
Die Flüssigkeiten verteilen sich ja gleichmäßig.
Und genau deswegen ist in jedem noch so kleinen Rest Apfelsaft/Wasser-Gemisch immer beides drin.
Das ist ja das Problem an einer exponentiell fallenden Kurve. Sie erreicht niemals 0.
Das ist ne exponentielle Kurve die gegen 0 geht, 0 aber nie erreicht, da du ja nie 100% entnimmst.
Also: Nie.
Also wenn jemand immer Apfelsaft nachschüttet und aus dem Gemisch Apfelsaft und Wasser was entimmt, dann muss doch irgendwann nur noch Apfelsaft übrig sein?
Das ist ein schlechter Vergleich weil Apfelsaft ja aus Wasser besteht.
Irgendwann wird zu 99,99999% Apfelsaft übrig sein, aber nie zu 100%
Das dauert rechnerisch ewig. Der Anteil der ursprünglichen Flüssigkeit geht asymptotisch gegen null.
Natürlich wird in der Praxis einmal das letzte Molekül der ursprünglichen Flüssigkeit verschwunden sein, weil es nicht teilbar ist. Für die Zahl der erforderlichen Umfüllungen bis zu diesem Ereignis lassen sich nur Wahrscheinlichkeiten berechnen, weil sich die Bewegungen des letzten Moleküls in den Strudeln den exakten Berechnungen entziehen.
Also wenn jemand immer Apfelsaft nachschüttet und aus dem Gemisch Apfelsaft und Wasser was entimmt, dann muss doch irgendwann nur noch Apfelsaft übrig sein? Die Flüssigkeiten verteilen sich ja gleichmäßig.