Frage von Simonfragtjetzt, 15

Wenn der Kern einer Matrix=0 ist die Matrix doch bijektiv oder?

gilt das auch rekursiv? also wenn der Kern nicht= 0 dann nicht bijektiv? und wenn man mit der Determinante Argumentiert, was ist dann stärtker? z.B. wenn man ein A in eine Matrix hinzufügen will muss und wenn man die Determinante ausrechnet also Det=0 die Variable 0 sein muss und wenn man den Kern bestimmt A=2 ist... 2ungleich0... und das wundert mich oder könnten beide Wege gehen? weil in der Lösung steht bei der Uni 0 mit Det aber auch das Kernverfahren gilt ja und das irritiert mich...

(nicht verrechnet 3 Leute gegengucken lassen habe ich)

Antwort
von QuestLeo, 7

Also mal langsam.

Der Kern einer Matrix besteht genau dann nur aus dem Nullelement, wenn die Matrix (bzw. die zugehörige Abbildung) injektiv ist. Wir haben also insbesondere eine Matrix mit vollem Spaltenrang, d.h. Rang = Spaltenrang = Anzahl der Spalten.

Bijektivität kann es ohnehin nur bei quadratischen Matrizen geben, denn hier muss Rang = Anzahl der Zeilen = Anzahl der Spalten gelten. Kurz gesagt braucht die Matrix also vollen Rang.

Vollen Rang hat eine quadratische Matrix genau dann, wenn ihre Determinante von 0 verschieden ist. Dieser Zusammenhang ist meistens leicht zu prüfen und daher zum Nachweis zu empfehlen.

Nun gilt weiterhin Zeilenrang = Spaltenrang für jede Matrix über einem Körper K. Es würde also für quadratische Matrizen auch genügen zu zeigen, dass der Kern nur aus dem Nullelement besteht. Dies ist nämlich gleichbedeutend zu vollem Spaltenrang.

Kommentar von Simonfragtjetzt ,

also bedeutet das das wenn der Kern nich 0 ist (ist quadartisch) die Funktion nicht bijektiv ist richtig verstanden?

Kommentar von QuestLeo ,

Das ist richtig.

Kommentar von Simonfragtjetzt ,

danke! 

weil ich habe grade das Problem das es nur dann den Kern 0 hat wenn die Variable 2 ist und die UniLösung sagt 0... und argumentiert mit der Determinante danke! hast mir echt geholfen

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