Ist das so einfach?
Hallo, ich habe zu der angehängten Aufgabe eine Frage:
Zur Lösung dieser Aufgabe habe ich die Determinante von A in Abhängigkeit von Alfa und Beta berechnet und als Lösungssatz
"A ist surjektiv für alle Alfa, Beta aus R für die gilt 3Alfa-2Beta ungleich 0"
geschrieben.
Frage:
1. Reicht bei dieser Aufgabe der Ansatz, dass die Matrix surjektiv ist, sofern die Matrix regulär ist ( det(A) ungleich 0 )
2. Ist der Lösungssatz wie oben beschrieben ausreichend, oder muss ich das anders formulieren?
2 Antworten
Die Matrix ist surjektiv, wenn alle Spaltenvektoren linear unabhängig sind, also genau dann wenn die Determinante ungleich 0 ist. Ich bin mir nicht ganz sicher ob du doch das richtige meinst aber nur das falsche geschrieben hast, aber der Rang wäre in allen Fällen ungleich 0 (außer es wäre die Nullmatrix)
Danke für die Antwort,
Ja, ich meine natürlich det(A) ungleich 0 und nicht Rang
oder eben keine, das ist das größere Problem, denn mindestens eine Lösung würde für Surjektivität erforderlich sein. Ich würde den Lösungssatz übrigens mindestens um "A ist surjektiv, wenn A bijektiv ist. A ist bijektiv, wenn A regulär, also det(A) <> 0 ist." ergänzen.
Gerne. Ich hoffe ihr habt die Aussage dass eine lineare Selbstabbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums bereits bijektiv ist, wenn sie surjektiv ODER injektiv ist bereits gehabt. Der Beweis ist zwar nicht sonderlich schwer, aber er ist für meinen ersten Teilsatz natürlich Voraussetzung.
Ja, das ist richtig, aber du musst noch den Zusammenhang zwischen Surjektivität, Rang der Matrix und der Determinante herstellen, falls ich das nicht in der Vorlesung schon gemacht habt.
Aber für bspw. Alfa=1/3, Beta=1/2, also wenn die determinante =0 wäre heißt es doch nicht, dass ich eine nullmatrix erhalte, sondern lediglich eine Nullzeile oder nicht? Beziehungsweise unendlich viele Lösungen für Ax existieren.