Welchen Wert hat die Kreiszahl pi, wenn der Umfang eines Kreises unendlich groß wäre?
3 Antworten
Die Zahl π ist keine variable Größe wie beispielsweise der Winkel φ im Bogenmaß, der durchaus den Wert π annehmen kann, sondern eine reelle Zahl wie 2, –15 oder e, die EULER'sche Zahl.
Sie unterliegt keinerlei Bedingungen.
Ein Kreis mit unendlichem Radius ergibt (erst einmal) keinen Sinn. Überhaupt kann man das Unendliche nicht einfach mit der Forke bearbeiten, sondern muss sehr sorgfältig vorgehen.
Das Tor zum Reich des WahnsinnsWir machen einen Denkfehler, wenn wir mit „einer Zahl Unendlich“ zu operieren suchen, deren Kehrwert 0 sein müsste, weil das die einzige Standardzahl ist, die keinen endlichen Kehrwert hat.
Das freilich - also die Annahme, dass ∞ der Kehrwert von 0 sei - bringt uns in die siebte Sphäre, DSA¹)-mäßig gesprochen, die Niederhöllen, die Domänen Calinaars und Iribaars, der Herrscher des Chaos und des Wahnsinns, wo Ungleiches gleich ist und umgekehrt und alles durcheinander.
Dem entgehen wir nur dadurch, dass wir einen Kehrwert von 0 kategorisch ausschließen und entweder „finitistisch“ werden (nichts ist, sondern etwas wird allenfalls unendlich) oder NichstandardanaIysis betreiben und somit „viele Unendlichs“ mit ihren infinitesimalen, von 0 verschiedenen Kehrwerten konstatieren.
NichstandardanaIysis und der unendliche KreisDie NichstandardanaIysis wurde schon im 17. Jahrhundert von LEIPNITZ angedacht, aber erst ab 1961 wirklich axiomatisiert. Sie definiert Zahlen generell über Folgen.
Um dies mathematisch sauber zu tun, werden zunächst Begriffe wie Filter und Ultrafilter definiert, die Mengensysteme sind. Ist erst mal ein wenig abstrakt, aber wenn das Gedankengebäude fertig ist, wird plötzlich alles ganz einfach.
Eine Zahl ε heißt infinitesimal, falls ε⪇1/n ∀n∈ℕ. Sie wird durch eine Nullfolge dargestellt, also eine Folge mit dem Standard-Grenzwert 0.
Der Ausdruck x₁≈x₂ bedeutet in der NichstandardanaIysis, dass x₁–x₂ infinitesimal ist. Die Zahlen heißen dann infinitesimal benachbart. AFAIK wird die Menge aller zu einer Standardzahl x infinitesimal benachbarten Zahlen als Monade von x bezeichnet.
Eine Zahl α heißt unendlich, wenn α⪈n ∀n∈ℕ. Sie wird durch eine Folge dargestellt, die standardmäßig betrachtet bestimmt divergent sind.
Diese unendlichen Zahlen sind alle verschieden und haben wohldefinierte endliche oder auch wiederum unendliche Quotienten respekive Differenzen.
Die infinitesimalen, endlichen und unendlichen Zahlen bilden den Körper *ℝ. Natürlich ist damit auch ein Vektorraum *ℝ² konstruierbar. Wenn wir jetzt wie im ℝ² noch die EUKLIDische Norm definieren, können wir einen Kreis im üblichen Sinne mit einem Durchmesser α ziehen. Dessen Umfang ist π·α⪈α.
π und Kreise in gekrümmten MannigfaltigkeitenEs gibt freilich auch Mannigfaltigkeiten (Verallgemeinerungen von Flächen), die nur lokal EUKLIDisch sind, insgesamt aber eine innere Krümmung aufweisen. Eine solche Krümmung lässt sich nach GAUSS völlig ohne Bezug auf einen Einbettungsraum beschreiben.
So oder so gibt es dort keine Geraden, sondern nur geodätische Linien, aus denen man beispielsweise Dreiecke konstruieren kann, deren Winkelsumme von den üblichen 180° bzw. π abweichen kann, nach oben (positive Krümmung) bzw. nach unten (negative Krümmung). Hier kann ggf. der Durchmesser z.B. so groß sein wie der Radius, was aber nicht (!!!!) bedeutet hier sei π eben 1. Vielmehr weicht das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser von π ab!
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¹) DSA = Das Schwarze Auge, ein Rollenspiel, das immer weiterentwickelt wird
Öhm.. Pi ist eine Konstante. Konstanten haben per Definition die Eigenschaft, dass sie konstant sind, Pi wäre also dann weiterhin 3,14... in einem Kreis, in dem der Umfang gegen unendlich geht, geht auch der Durchmesser gegen unendlich (wenn wir das mal mit der Grenzwertbetrachtung erklären)
unendlich * 3,14 = unendlich.
Du hast Abitur bzw. kennst die Oberstufenmathematik, speziell Kurvendiskussionen? Denn daraus ist der folgende Abschnitt:
Das gilt auch im unendlichen. Wenn wir die Formel für den Umfang mal als Funktion
U(r) = 2 * pi * r
betrachten, dann sieht man spätestens, wenn man sich das aufzeichnet, dass U immer größer wird, wenn r größer wird. Wenn r unendlich ist, dann ist auch u unendlich. Oder formell ausgedrückt
lim (r -> infinity) 2 * pi * r = infinity.
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)
Ich glaube, dein Denkfehler ist, dass du "pi" nicht als greifbare Zahl verstehst, aber dafür "unendlich". Es ist aber genau umgekehrt.
unendlich / unendlich ist mathematisch undefiniert, es sei denn du machst Ausflüge in den hyperreellen Raum.
http://www.helpster.de/unendlich-durch-unendlich-teilen-so-loesen-sie-das-problem_86409
Du machst immer noch den Fehler und betrachtest "unendlich" als Zahl. Das ist falsch. Siehe auch den Kommentar von SlowPhil hier.
"Unsere Mathematik" ist absolut in Ordnung und hat auch eine Antwort auf deine Frage. Das Problem scheint bloß zu sein, dass du die Antwort aus deiner Bildung nicht kennst und nicht so wirklich verstehst - was absolut nicht schlimm ist, das ist nicht böse gemeint.
Ein unendlich großer Kreisumfang ist logischer Nonsens. Es gibt auch keinen quadratischen Kreis.
Langsam! Angenommen, das Universum ist unendlich groß und kugelrund: Was dann? Ausserdem ist ein Kreis ein unendliches Vieleck
es ist unendlich groß, dehnt sich aber aus.... wie kann etwas "unendlich" sein wenn es größer wird? es geht doch garnicht größer als unendlich
"Das geht nicht" wird oft zu schnell behauptet. Geht nicht, gibt's nicht
es ist nicht unendlich gross und etwas das unendlich gross ist hat keine definierte Form denn es hört ja nirgends auf.
Frage: Wie klein könnte definitiv der kleinste Kreis sein? Nicht der denkbar kleinste Kreis, sondern der Umfang des kleinstmöglichen realen Kreises! Kann er kleiner als der Umfang eines Elektrons oder sogar noch kleiner als der Umfang eines Quarks sein? Denkbar kleiner kann er sein - sogar Trillionen Trillionen mal kleiner als ein Quarks, nicht wahr? Unendlich mal kleiner als ein Quarks sogar! Warum kann es dann im umgekehrten Fall nicht ein (rein denkbarer) unendlich großer Kreis geben?
Warum kann es dann im umgekehrten Fall nicht ein (rein denkbarer) unendlich großer Kreis geben?
Weil Dein Denkmodell des kleinsten möglichsten Kreises schon fehlerhaft ist - der kleinste mögliche Kreis ist nicht Trillionen Trillionen mal kleiner als ein Quarks, sondern er hat einen Radius von 0 und ist somit schlicht weg nicht vorhanden.
Die Unendlichkeit des Universums ist Spekulatius. Halten wir uns an das, was wir selbst geistig erfassen respektive konstruieren können. Wir machen einen Denkfehler, wenn wir mit „einer Zahl Unendlich“ zu operieren suchen, deren Kehrwert zwangsläufig 0 sein müsste, weil das die einzige Standardzahl ist, die keinen endlichen Kehrwert hat. Das bringt uns in die siebte Sphäre, DSA-mäßig gesprochen, die Niederhöllen, die Domänen Calinaars und Iribaars, der Herrscher des Chaos und des Wahnsinns, wo z.B. 5=3 sein kann.
Dem entgehen wir nur dadurch, dass wir einen Kehrwert von 0 kategorisch ausschließen und entweder „finitistisch“ werden (nichts ist, sondern etwas wird allenfalls unendlich) oder NichstandardanaIysis betreiben und somit „viele Unendlichs“ mit ihren infinitesimalen, von 0 verschiedenen Kehrwerten konstatieren.
Deinen Schlussfolgerungen kann ich mich in keiner Weise anschließen.
Nachdem die Unendlichkeit des Universums "Spekulatius" ist (dieser Betrachtung kann ich mich anschließen), brauchen wir uns auch nicht krampfhaft um ein Modell der Unendlichkeit bemühen, das wir mathematisch berechnen können. Denn es ist ja Spekulation, ob es die Unendlichkeit überhaupt gibt.
Somit sollten wir die Unendlichkeit einfach dort belassen, wo sie hingehört: in den Bereich des Unerforschlichen, Unergründlichen und für uns Unbegreiflichen.
Es ist eine Erbkrankheit des Menschen, für Alles und Jedes eine plausible naturwissenschaftliche Erklärung zu suchen und anhand mathematischer Modelle nachweisen und nachbilden zu wollen. In manchen Bereichen hat das ja durchaus zu praktikablen Ergebnissen geführt.
Die Unendlichkeit jedoch entzieht sich dem menschlichen Verstand und seiner Vernunft, demzufolge sind auch diesbezügliche mathematische Modelle eigentlich geistige Onanie und Nonsens.
Mit Hilfe des Nichtstandardkörpers *ℝ der Hyperreellen Zahlen ist es schon möglich, konsistent einen Kreis mit unendlichem Radius α zu definieren. Es muss halt x²+y²=α² sein.
@SlowPgil: jetzt hör doch auf mit solchen abstrusen mathematischen Modellen! Auch mit dem verkorkstesten mathematischen Modell wirst Du nicht beweisen können, dass die Unendlichkeit eine definierte Begrenzung hat. Ist als Denkmodell unmöglich.
@manni94
Das ist kein „abstruses mathematisches Modell“, sondern ein Teil der Mathematik, der es ermöglicht, mathematisch sauber, das heißt vor allem widerspruchsfrei, unendliche und - was in dem Zusammenhang wichtiger ist - infinitesimale Größen zu behandeln (und damit LEIBNIZ' Traum zu verwirklichen).
Es ist dies ebenso wenig logischer Nonsens wie die Konstruktion mehrdimensionaler Objekte, nur weil sie sich unserer Anschauung entziehen, oder gar unendlichdimensionaler Vektorräume, die es im mathematischen Sinne sehr wohl gibt, Funktionenräume nämlich.
… wirst Du nicht beweisen können, dass die Unendlichkeit eine ďefinierte Begrenzung hat.
Die Unendlichkeit gibt es mathematisch nicht, es gibt verschiedene Formen davon, die nicht einmal zwangsläufig etwas miteinander zu tun haben, unendliche Kardinalzahlen und unendliche Nichtstandardzahlen etwa. Letztere sind wohldefiniert, und man kann mit ihnen rechnen wie mit endlichen Größen. Während etwa
ℵ₀·2 = ℵ₀
ist (ℵ₀ ist die Mächtigkeit von ℕ), ist
α·2 ≠ α ∀ α ∈ *ℝ\{0},
selbst wenn α unendlich groß sein sollte. „Denkunmöglich“ ist in diesem Zusammenhang nur die Division durch 0, was aber nicht an der Unendlichkeit des „Kandidaten“ ∞ für einen Kehrwert von 0 liegt, sondern daran, dass
0·α = 0 ∀ α
ist. Was das Beweisen anbelangt, heißt dies, dass man aus Prämissen, also Definitionen, Axiomen und bereits bewiesenen Sätzen, neue Sätze herleitet. Das braucht nicht intuitiv zugänglich oder anschaulich zu sein.
Es gibt auch keinen quadratischen Kreis.
Nicht einmal das gilt uneingeschränkt, selbst im Endlichen. Nehmen wir den Vektorraum ℝ². Der ist zunächst einmal nichts als eine Menge, deren Elemente man addieren und mit Reellen Zahlen multiplizieren kann. Dass (1, 0) und (0,8, 0,6) etwas gemeinsam haben, nämlich den Betrag, ergibt sich erst aus der zusätzlichen Definition der Euklidischen Norm, die auf dem Skalarprodukt
‹u, v› = u₁v₁ + u₂v₂
beruht, nämlich als
|u| := ||u||₂ = √{‹u, u›}.
Alle Punkte, deren Ortsvektor eine Euklidische Norm hat, die eine reelle Zahl r nicht überschreitet, gehören zu einer „Kugel bezüglich der Euklidischen Norm r“, und ist ein Kreis im anschaulichen Sinne. Es lassen sich aber auch andere Normen definieren, etwa die Maximumsnorm
||u||_[max] = max(|u₁|, |u₂|),
und eine „Kugel bezüglich der Maximumsnorm r“ ist anschaulich ein Quadrat der Kantenlänge 2r.
Ja, Die Konstante Pi bezieht sich nur auf endlich große Kreise. Bei einem unendlich großen Kreis muss pi etwas ganz anderes sein. Wenn man dann überhaupt noch von pi sprechen kann