Frage von bibilo45, 61

Welche Funktionen sind (nicht) umkehrbar?

Bild mit dabei. Welche Funktionen sind umkehrbar und welche nicht? Und wieso, denn irgendwie komme ich nicht darauf. Wieso sind nicht alle umkehrbar? Bitte nur antworten, wenn ihr sicher seid. Wie ihr vielleicht seht, habe ich begrenzte Versuche zu antworten.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

|x| ist zum Beispiel nicht  umkehrbar, weil es für y = 5 z. B. zwei mögliche Ursprungswerte x gibt, nämlich x = -5 und x = 5.

Visuell erkennst du unumkehrbare Funktionen daran, dass es eine waagerechte Linie gibt, die den Graphen mindestens zweimal schneiden würde.

Rechnerisch kannst du es daran erkennen, wenn Informationsverluste auftreten, wie bei |x| oder wenn ein Quadrat vorkommt y = x², da negative Zahlen quadriert dasselbe ergeben wie positive. Alle zyklischen Funktionen sind somit auch nicht umkehrbar auf dem ganzen Definitionsbereich, denn die y wiederholen sich ab einem gewissen Punkt.

Kommentar von benwolf ,

Ist die umkehrfunktion zu |x| nicht auch |x|? Bin mir da unsicher. Denn

y=|x|

|y|=x jetzt x und y tauschen

|x|=y Umkehrfunktion

Kommentar von Suboptimierer ,

Nein. Die Umkehrfunktion der Betragsfunktion ist nicht die Betragsfunktion. Sobald du die Betragsstriche anwendest, erleidet dein Ergebnis einen Informationsverlust. Das Vorzeichen, egal, wie es lautete, wird in ein + umgewandelt. Wäre sie umkehrbar, müsstest du vom Ergebnis auf das ursprüngliche Vorzeichen schließen können. Kannst du aber nicht. Wenn ich dir das Ergebnis 10 sage, weißt du nicht, ob ich auf das Ergebnis mit -10 oder +10 gekommen bin. Beides wäre möglich.

Kommentar von benwolf ,

War mir auch später eingefallen^^ 

||-10|| ist halt immer noch 10 und damit ists keine umkehrfunktion. Kommt davon wenn man 2 Jahre kein Mathe mehr macht :P

Kommentar von Suboptimierer ,

Kommt davon wenn man 2 Jahre kein Mathe mehr macht

Keine Ausrede. Frag mich mal. ;P

Antwort
von Voeglein93, 27

unkehrbare funktionen sind solche, bei denen niemals zweimal derselbe funktionswert auftaucht. 

wenn du also den graphen zeichnest, und du siehst fuer zwei verschiedene x denselben funktionswert y, dann ist die funktion nicht umkehrbar.

Aber wenn sich eine Funktion ganz langsam an die x-Achse annaehert, sieht es auf dem Blatt so aus, als wuerde sie immer den selben wert annehmen, das tut sie meistens aber nicht.

ich hoffe, damit kommst duas.selbst auf die loesung.

Antwort
von benwolf, 21

Umkehrfunktion zu e^x ist ln() und andersherum. x^2 ist mit der +-wurzel umkehrbar und der sin mit arcsin. also nur |x| ist nicht umkehrbar. wobei mein prof mal meinte das zb die wurzel ziehen nur eine notumkehrfunktion sei da man dabei eine fallunterscheidung machen müsse. 

Kommentar von benwolf ,

e^-x ist nicht umkehrbar für den ganzen defbereich. sin(x) wird auch nur im bereich einer periode umgekehrt. Für 1/x^2 ist die umkehrfunktion auch in 2 fällr unterschieden. |x| bin ich mir unsicher. ln(x) ist auf jeden fall umkehrbar.

Ich würde sagen |x| und ln(x) sind die lösungen. (|x| ist die umkehrfunktion aber auch |x|, weiß nicht ob das zählt)

Kommentar von Suboptimierer ,

Stimmt, hast recht. (nach überlegen)

Antwort
von poseidon42, 8

Es kommt immer darauf an, welches Intervall du betrachtest. Allgemein sind streng monotone Funktionen umkehrbar.

Beispiel:

f(x) = x²   besitzt keine globale Umkerfunktion, als Beispiel setze man einfach mal x und -x ein, man erhält in beiden Fällen das gleiche Ergebnis x². Man kann also keine eindeutige Umkehrabbildung finden. Wenn wir jedoch den betrachteten Bereich einschränken, bspw.:

f: [0,+inf) --> [0, +inf) ; f(x) = x²

So lässt sich in diesem Fall eine eindeutige Umkehrfunktion definieren, welche hier gegeben ist durch die Quadratwurzel. (Beachte, x² ist jeweils streng monoton auf (0,+inf) und (-inf, 0) )

Weitere Beispiele sind:

f(x) = |x|  , f(x) = sin(x), f(x) = cos(x), f(x) = tan(x) ...

Durch einschränken des betrachteten Bereichs auf Bereiche auf denen die Funktionen Monoton sind lassen sich dann Umkehrfunktionen finden, obwohl global gesehen keine Umkehrfunktion existiert.

Hier:

1)

f(x) = e^(-x)  ; die Exponentialfunktion ist eine streng monotone Funktion auf ganz IR  ---> Es existiert eine globale Umkehrfunktion, hier gegeben durch die Logarithmusfunktion:

x = - ln(f(x))  mit  f(x) = y  ----> x(y) = -ln(y)

2)

f(x) = sin(x) , der sin(x) ist monoton steigend auf [-pi/2, pi/2], und monoton fallend auf [pi/2, 2pi/2]. Dieses Verhalten setzt sich periodisch fort, somit kann global keine Umkerfunktion existieren. Beschränken wir jedoch den Defintionsbereich auf bspw. [-pi/2, pi/2] so lässt sich eine Umkehrfunktion finden, gegeben durch den arcsin(x).

3)

f(x) = 1/x²  Die Funktion ist streng monoton fallend auf (-inf, 0) und streng monoton steigend auf (0, +inf). Somit lässt sich eine Umkehfunktion auf einer der beiden Teilintervalle finden, jedoch keine einheitliche globale Umkehrfunktion. (Weiterführend besitzt f(x) auch eine Polstelle bei x = 0)

4)

f(x) = |x|  ist streng monoton fallend auf (-inf, 0) und streng monoton steigend auf (0, +inf). Somit lässt sich für die jeweiligen Teilintervalle eine Umkehrfunktion finden, jedoch keine globale Umkehrfunktion.

5)

f(x) = ln(x) ist wohldefiniert  auf (0, +inf). Zusätzlich ist die Logarithmusfunktion streng monoton steigend auf dem gesamten Defintionsbereich, d.h. es existiert eine Umkehrfunktion, im Fall des Logarithmus Naturalis, durch die Exponentialfunktion:

x = ln(y) --> y = e^x

Antwort
von LeroyJenkins87, 17

|x| ist nicht umkehrbar. Den man hat keinerlei Informationen, ob ursprünglich eine negative oder positive Zahl vorhanden war.

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